[수학] 교과내로 지수함수 다항함수 로그함수의 속도를 비교하는 방법
[수학] 교과내로 지수함수 다항함수 로그함수의 속도를 비교하는 방법
안녕하세요. 수학올인입니다.
이번 포스팅에서는 고등학교 과정으로 로그함수, 다항함수, 지수함수의 속도 비교에 대해 다뤄보겠습니다.
주로 고등학교에서 미적분을 배우면 초월함수의 극한을 다룰 때
로그함수는 다항함수보다 느리다.
지수함수는 다항함수보다 빠르다.
라는 말을 들어보신 적이 있으실겁니다.
여기서 속도가 느린 함수, 빠른 함수의 의미는 (느린 함수)/(빠른 함수) 의 극한이 0으로 간다는 의미입니다.
저런 말을 들어본 것 뿐 아니라 문제를 풀때도 문제의 끝에 달린
$$\lim_{x\to\infty} x^2 e^{-x} = 0$$
같은 조건을 보신 적이 있으실 겁니다.
이 조건을 왜 주는걸까요?
평가원의 오피셜 답변이 있는지는 모르겠으나, 제 생각은 저러한 사실을 전달하고자 하는 이유도 있지만
저것을 밝히는 과정이 문제 외적으로 까다롭기 때문에 증명 없이 이용하라는 의도인 것 같습니다.
그렇다면 어떻게 저걸 밝힐 수 있을까요?
막상 해보려고 하니 잘 떠오르지 않기도 하고, 아예 "로피탈 같은 교과외로만 가능하다"라거나
"고등학교 과정으로 불가능하다" 같은 얘기도 종종 들립니다.
하지만 저 내용은 분명히 고등학교 과정으로도 보일 수 있습니다.
그리고 그 방법을 지금부터 알아보겠습니다.
지수함수가 다항함수보다 빠름을 증명하기
위에서 언급한 '빠르다'의 정의로부터 우리는
$$\lim_{x\to\infty} x^n e^{-x} = 0$$
임을 보이면 됩니다. ($n$은 어떤 자연수입니다.)
우리가 조사하고자 하는 식인 $x^n e^{-x}$를 $f(x)$라는 함수로 잡아볼게요. 즉,
$$f(x) = x^n e^{-x}$$
라고 합시다. 그러면 미분을 해보면
$$\begin{align} f'(x) &= nx^{n-1} e^{-x} - x^n e^{-x} \\ &= x^{n-1}e^{-x} (n - x) \end{align}$$
이 됩니다.
이제 이 함수의 증감을 조사할 것인데, 우리는 어차피 $x\to\infty$인 상황을 생각할 것이므로
$x>0$일 때만 따지겠습니다.
$x>0$에서는 $x=n$이 유일한 극점의 좌표가 되고
부호를 따져보면 $x^{n-1}>0$이고 $e^{-x}>0$이므로 극대이자 최대가 됩니다.
또, $x>0$에서 $x^n > 0$, $e^{-x}>0$이므로 $x>0$에서 $f(x)>0$이 성립합니다.
이 둘을 합치면 $x>0$에서 부등식
$$0<x^n e^{-x}\leq f(n)\quad (x>0)$$
이 성립함을 알 수 있습니다.
여기서 어떻게 해야 할까요? 바로 전부 $e^{-x}$를 곱해주는 것입니다. 그러면 위의 부등식은
$$0<x^n e^{-2x} \leq f(n)e^{-x}\quad (x>0)$$
으로 변합니다. 이제 눈치채셨나요? 바로 샌드위치 정리를 이용할 수 있습니다.
$$\begin{align} \lim_{x\to\infty} 0 &= 0 \\ \lim_{x\to\infty} f(n)e^{-x} &= 0\end{align}$$
이므로 샌드위치 정리를 이용하면
$$\lim_{x\to\infty} x^n e^{-2x} = 0$$
임을 얻습니다.
그런데, 우리가 맨 처음에 썻던 식이랑은 약간 다르네요.
꼴을 맞춰주기 위해 $2x = t$로 치환합니다. 그러면 $x\to\infty$ 일 때 $t\to\infty$이므로
$$\lim_{x\to\infty} x^n e^{-2x} = 0\quad\Longrightarrow\quad \lim_{t\to\infty} \left(\frac{t}{2}\right)^n e^{-t} = 0$$
임을 얻습니다.
그리고 마지막으로 $n$은 그냥 고정된 어떤 자연수이므로 $\left(\frac{1}{2}\right)^n$도 그냥 상수일 뿐입니다.
따라서 양변에 $2^n$을 곱해 식을 정리해주면 최종적으로 우리가 원하던 바인
$$\lim_{t\to\infty} t^n e^{-t} = 0$$
임을 얻고 증명이 끝납니다.
다항함수가 로그함수보다 빠름을 증명하기
마찬가지로 이번에는
$$\lim_{x\to\infty} \frac{\ln x}{x^n} = 0$$
임을 보이면 되겠습니다. ($n$은 자연수)
이번에는 위의 결과를 이용할 수 있습니다. 우리가 위에서 보인 결과인
$$\lim_{x\to\infty} x^n e^{-x} = 0$$
에서 $x=\ln t$로 치환해봅시다. $x\to\infty$일 때 $t\to\infty$이므로 위의 극한은
$$\lim_{x\to\infty} x^n e^{-x} = 0\quad\Longrightarrow\quad \lim_{t\to\infty} \frac{(\ln t)^n}{t} = 0$$
으로 바뀌게 됩니다. 여기서 식을 조금만 바꿔써본다면
$$\lim_{t\to\infty} \left(\frac{\ln t}{t^{\frac{1}{n}}}\right)^n = 0$$
로 쓸 수 있습니다.
거의 다 왔습니다. 함수
$$p(x) = x^n$$
을 생각해봅시다.
이때 $p(x)$는 연속함수이고, $p(x) = 0$이 되도록 하는 $x$는 $x=0$뿐이라는걸 기억합시다. (★)
그런데 위의 극한은
$$\lim_{t\to\infty} p\left(\frac{\ln t}{t^{\frac{1}{n}}}\right) = 0$$
이 되므로 자연스럽게
$$\lim_{t\to\infty} \frac{\ln t}{t^{\frac{1}{n}}} = 0$$
임을 위에 써둔 (★)표시의 내용으로부터 알 수 있습니다.
마지막으로 $t=x^n$으로 치환하면 $t\to\infty$일 때 $x\to\infty$이므로
$$\lim_{t\to\infty}\frac{\ln t}{t^{\frac{1}{n}}} = 0\quad\Longrightarrow\quad \lim_{x\to\infty} \frac{n\ln x}{x} = 0$$
임을 얻습니다. $n$은 $x$와는 관계없는 자연수이므로 양변을 $n$으로 나눠주면 우리가 원하던 결과인
$$\lim_{x\to\infty} \frac{\ln x}{x^n} = 0$$
을 얻을 수 있습니다.
다항함수가 로그함수보다 빠름을 직접 증명하기
그런데 위의 증명이 틀린 증명은 아니지만, 썩 맘에 들지 않을수도 있습니다.
왜냐하면 로그함수와 다항함수의 속도를 논하기 위해 지수함수를 끌어왔으니까요.
누군가는 이렇게 빌드업을 통해 돌아가는것이 아닌, 그냥 바로 할 수 있는 증명을 원할수도 있습니다.
물론 이러한 방법도 가능합니다. 자연수 $n$에 대하여 함수 $f(x)$를
$$f(x) = \frac{\ln x}{x^n}$$
라 합시다. 마찬가지로 미분해보면
$$f'(x) = \frac{1}{x^{n+1}}(1-n\ln x)$$
이므로
$$f'\left(e^{\frac{1}{n}}\right) = 0$$
이고 부호를 따져보면 극대가 됨을 알 수 있습니다.
한편 $x>1$에서 $\ln x>0$이고 $x^n > 0$이므로 $x>1$에서 $f(x)>0$이 성립합니다.
이 둘을 합치면 부등식
$$0<\frac{\ln x}{x^n}\leq f\left(e^{\frac{1}{n}}\right)\quad (x>1)$$
을 얻습니다.
여기서부턴 위와 비슷하다는걸 아실 수 있을거에요. 이번에는 양변을 $x$로 나눠보면
$$0<\frac{\ln x}{x^{n+1}} \leq \frac{1}{x}f\left(e^{\frac{1}{n}}\right)\quad (x>1)$$
임을 알 수 있고, 양변에 $x\to\infty$인 극한을 취해주면
$$\begin{align} \lim_{x\to\infty} 0 &= 0 \\ \lim_{x\to\infty} \frac{1}{x}f\left(e^{\frac{1}{n}}\right) &= 0\end{align}$$
이므로 샌드위치 정리로부터
$$\lim_{x\to\infty} \frac{\ln x}{x^{n+1}} = 0$$
임을 알 수 있습니다.
여기서부턴 지수함수와 다항함수의 속도를 비교할 때와 같죠. 원하는 꼴을 만들어주기 위해
$$x=t^{\frac{n}{n+1}}$$
로 치환해주면 $x\to\infty$일 때 $t\to\infty$이므로
$$\lim_{x\to\infty} \frac{\ln x}{x^{n+1}} = 0\quad\Longrightarrow\quad \lim_{t\to\infty} \frac{n\ln t}{(n+1)t^n} = 0$$
이 되고, 마찬가지로 $\frac{n}{n+1}$은 상수일 뿐이므로, 양변을 그대로 나눠주면 원하던 결론인
$$\lim_{x\to\infty} \frac{\ln x}{x^n} = 0$$
을 얻게 됩니다.
마무리
자 어떤가요?
위에서 볼 수 있는 것처럼, 충분히 고등학교에서 배운 내용만으로도 원하는 바를 보일 수 있습니다.
그러나 꽤 길기도 하고, 샌드위치 정리 같은 경우는 사실 자주 다루지는 않기 때문에 발상이 어려울 수도 있긴 합니다.
그래서 그런지 평가원에서도 항상 이러한 사실을 조건으로 그냥 이용하라고 주는 것 같고요.
어쨋든, 충분히 증명 가능한 부분이니 본문에서 언급된 속도에 대한 내용은 맘 놓고 사용하셔도 됩니다.
그럼 이상으로 포스팅을 마치겠습니다.
오류, 오타 또는 궁금하신 점이 있으시면 댓글로 남겨주세요~