2024학년도 9월 모의고사 수학 미적분 28번 풀이 (240928 풀이)

안녕하세요 수학올인입니다.

이번 포스팅에서는 2024학년도 9월 모의고사 수학 미적분 28번을 다뤄보겠습니다.

함수 $f(x)$의 그래프를 그리면 다음과 같다.

이때, $x<0$에서 한 주기의 적분값은 $1$이고, $x>0$에서의 주기의 절반의 적분값은 $\frac{2}{a}$이다.

이를 구하는 이유는 적분을 했을 때 도함수의 부호 있는 넓이를 원함수의 함숫값의 차로 해석할 수 있기 때문이다.

(미적분학의 기본정리)

새로운 함수

$$h(x)= \int_{-a\pi}^x f(t)dt$$

의 그래프를 그리면 아래와 같다.

이때 $g(x)=|h(x)|$이므로 $g(-a\pi)=h(-a\pi)=0$임을 안다.

그런데 함수 $g(x)$는 미분가능하므로,

$$h'(-a\pi)=0\quad \Longrightarrow\quad a=\frac{n}{4}$$

임을 얻는다. (단, $n$은 자연수)

한편 이 함수의 $y$축은 반드시 $x<0$ 부분의 삼중근이 있는 지점에 놓이게 되므로 (미분가능하니까)

$x>0$에서의 함숫값이 그보다 덜 내려오면 함수 $g(x)$는 미분가능하게 된다.

따라서 $x<0$에서의 함숫값의 변화는

$$h(0) - h(-a\pi) = n$$

이고 $x>0$에서의 함숫값의 변화는

$$\frac{2}{a}$$

이므로 부등식

$$n > \frac{2}{a}$$

를 풀면 된다. 한편 위에서 $a=\frac{n}{4}$임을 알고 있으므로 대입한 뒤 정리하면

$$n^2 > 8 \quad \Longrightarrow\quad n > 2\sqrt{2}$$

이므로

$$a=\frac{n}{4}\geq \frac{3}{4}$$

이다.

주어진 조건을 따라가면 특수한 상황을 먼저 찍어보거나 그럴 필요 없이 정직하게 풀리는 문제 같습니다.