2024학년도 10월 모의고사 수학 14번 풀이 (241014 풀이)

안녕하세요 수학올인입니다.

이번 포스팅에서는 2024학년도 10월 모의고사 수학 14번 문제를 다뤄보겠습니다.

문제에서 주어진 조건으로부터

$$f(x)=(x-2)^2 + c$$

로 둘 수 있다. 이로부터 풀이를 시작하자. 새로운 함수 $g(x)$를

$$g(x)=\int_4^x f(t)dt$$

라 하면 주어진 조건은 모든 자연수 $n$에 대하여 $g(n)\geq 0$임을 의미한다.

ㄱ. 만약 $f(2)=c>0$이면 함수 $g(x)$는 증가함수인데, $g(3)<g(4)=0$이므로

주어진 조건 $g(n)\geq 0$와 모순이다. 따라서 $f(2)<0$이다. (참)

ㄴ. 만약 함수 $g(x)$의 개형이 $g(4)=g'(4)=0$인 삼차함수의 개형이라면 ($x=4$에서 $x$축에 접하는)

$g(2)>g(3)$이다. (거짓)

ㄷ. $g(4)=0$이므로, $g(3)>0$, $g(5)>0$이면 모든 자연수 $n$에 대하여 $g(n)\geq 0$을 만족시킨다.

(개형을 생각해보자.)

직접 두 값을 계산해보면

$$\begin{align} & g(3) = c^2 - 4c + \frac{5}{3} \\ & g(5) = -c^2 + 4c + \frac{7}{3} \end{align}$$

에서 두 값이 전부 $0$보다 커야하므로

$$-\frac{5}{3}\leq c^2 - 4c \leq \frac{7}{3}$$

을 얻는다. 한편

$$g(6)=-2(c^2 - 4c) + \frac{32}{3}$$

이므로 위의 부등식으로부터

$$6 \leq g(6) \leq 14$$

임을 얻는다. (참)

그냥 계산을 통해 풀어내었습니다.

가장 처음에는 그림을 통한 직관적인 해석을 시도했는데, 그렇게 접근하면 ㄱ, ㄴ, ㄷ에 대한

유기성이 떨어지는 느낌을 받아 계산을 이용하는 풀이로 선회하였습니다.