[편입] 2022 아주대학교 편입수학 기출문제 정답 및 해설 (풀이)

[편입] 2022 아주대학교 편입수학 기출문제 정답 및 해설 (풀이)

안녕하세요 수학올인입니다.

 

이번 포스팅에선 2022년 아주대학교 편입수학 기출문제의 정답과 풀이를 다뤄보겠습니다.

풀이는 전부 제 풀이이며, 따라서 오타나 오류가 있을 수 있습니다.

 

원본 시험지는 제가 공유하지 않으며, 아주대학교 입학처에서 확인하실 수 있습니다.

(아주대학교 입학처 - 편입 - 기출문제)

 

 

 

2022 아주대학교 편입수학 기출문제 빠른 정답

 

빠른 정답은 위 사진을 참고해 주시고, 아래는 문항별 풀이입니다.

 

 

 

2022 아주대학교 편입수학 기출문제 1번 풀이

삼각함수와 역삼각함수의 정의로부터 
$$\alpha = -\frac{3}{7}\pi$$
이다. 이를 통해 선지의 참 거짓을 판단하자.

1번의 경우 삼각함수의 합성으로부터
$$\begin{align}
    \cos\alpha + \sin\alpha &= \sqrt{2}\sin\left(\alpha + \frac{\pi}{4}\right) \\ 
    &= \sqrt{2}\sin\left(-\frac{5}{28}\pi\right) < 0
\end{align}$$
이므로 거짓이다.

 

 

 

2022 아주대학교 편입수학 기출문제 2번 풀이

$n$이 충분히 크면
$$\sin\frac{2}{\sqrt{n}} \approx \frac{2}{\sqrt{n}}$$
이 성립하므로 주어진 극한은
$$\begin{align}
    \text{(Integral)} &\approx \lim_{n\to\infty} \left( 1-\frac{2}{\sqrt{n}}\right)^n \\ 
    &\approx \lim_{n\to\infty} e^{-2\sqrt{n}} \\ 
    &= 0
\end{align}$$
이다.

 

 

 

2022 아주대학교 편입수학 기출문제 3번 풀이

가. 피적분함수가 $x=2$근방에서 $\frac{1}{|x-2|^{\frac{3}{2}}}$처럼 행동하므로 발산한다.

나. 차수를 비교해보면 발산한다.

다. $x=e^t$로 치환하면 주어진 적분은
$$\int_{-\infty}^{\infty} e^{t-t^2}dt $$
와 같으므로 수렴한다.

라. 차수를 비교하면 발산한다.

 

 

 

2022 아주대학교 편입수학 기출문제 4번 풀이

주어진 식을 다시 쓰면
$$f(x) = \frac{1}{1-\frac{(x-1)^2}{2}}$$
이므로, $x=1$ 근방에서 
$$f(x) = 1+\frac{(x-1)^2}{2} + \cdots + \left(\frac{(x-1)^2}{2}\right)^3 + \cdots$$
이 성립한다. 따라서 $(x-1)^6$의 계수는 $\frac{1}{2^3}$이고 구하는 값은
$$P^{(6)}(1) = 6! \times \frac{1}{2^3} = 90$$
이다.

 

 

 

2022 아주대학교 편입수학 기출문제 5번 풀이

전미분을 이용하자.
$$\begin{align}
    dz &= f_x dx + f_y dy \\ 
    &= 3(x+2y)^2 dx + 6(x+2y)^2 dy
\end{align}$$
가 성립하고, $dx=-0.1, dy=0.1$이므로, 대입하면
$$dz = -0.3 + 0.6 = 0.3$$
이다. 따라서 구하는 근삿값은 $z + dz = 1 + 0.3 = 1.3$이다.

 

 

 

2022 아주대학교 편입수학 기출문제 6번 풀이

가. 반례 : $a_n = \frac{(-1)^n}{\sqrt{n}}$

나. $a_n ^2$에 대한 무한급수가 수렴하므로,
$$\lim_{n\to\infty} a_n = 0$$
이 성립한다. 한편 극한의 엄밀한 정의로부터 어떤 자연수 $N$이 존재하여 $n>N$인
모든 자연수 $n$에 대하여
$$-1 < a_n < 1$$
이 성립한다. 즉, 다시 쓰면
$$|a_n| < 1$$
이 충분히 큰 모든 $n$에 대하여 성립한다. 이제 양변에 $a_n ^2$을 곱하면
$$|a_n|^3 < a_n ^2$$
이 성립하므로, $a_n ^3$에 대한 급수는 절대수렴하고, 따라서 수렴한다.

다. 반례 : $a_n = \frac{(-1)^n}{\sqrt{n}}$

라. 반례 : $a_n = (-1)^n$

 

 

 

2022 아주대학교 편입수학 기출문제 7번 풀이

적분판정법으로부터 가. ~ 라.의 급수는 적당한 상수 $c$에 대하여 각각 아래와 같다. 
가. 
$$\int_c^{\infty} \frac{e^{\frac{2}{3}x}}{x^{\frac{2}{5}}}dx $$
나.
$$\int_c^{\infty} \frac{e^{\frac{1}{3}x}}{x^{\frac{4}{5}}}dx $$
다.
$$\int_c^{\infty} \frac{1}{x^{\frac{6}{5}}}dx $$
라.
$$\int_c^{\infty} \frac{e^{-\frac{1}{3}x}}{x^{\frac{8}{5}}}dx $$


이상에서 수렴하는것은 다, 라이고 가, 나는 발산한다.

 

 

 

2022 아주대학교 편입수학 기출문제 8번 풀이

 

 

 

2022 아주대학교 편입수학 기출문제 9번 풀이

주어진 적분은
$$\text{(Integral)} = \frac{\pi}{2} - \int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin xdx = \frac{\pi}{2} - 1$$
이다.

 

 

 

2022 아주대학교 편입수학 기출문제 10번 풀이

함수 $f(t) = \sin 2t$의 라플라스 변환을 이용하면
$$\begin{align}
    F(s) &= \int_0^{\infty }e^{-st} \sin 2tdt \\ 
    &= \frac{2}{s^2 + 4}
\end{align}$$
가 성립한다. 구하는 적분은 $s=1$인 상황이므로 양변에 $s=1$을 대입하면 구하는 값은 $\frac{2}{5}$이다.

 

 

 

2022 아주대학교 편입수학 기출문제 11번 풀이

적분순서를 변경하면 주어진 이중적분은
$$\begin{align}
    \text{(Integral)} &= \int_0^3 \int_0^{y^4} \cos\left(\frac{\pi}{1458}y^5\right)dxdy \\ 
    &= \int_0^3 y^4 \cos\left(\frac{\pi}{1458}y^5\right)dy \\ 
    &= \frac{1458}{5\pi} \times \frac{1}{2} \\ 
    &= \frac{729}{5\pi}
\end{align}$$
이다.

 

 

 

2022 아주대학교 편입수학 기출문제 12번 풀이

주어진 두 직선의 방향벡터를 외적하여 얻은 벡터를 $n$이라 하면
$$n = (1,1,1)$$
이다. 이제 $n$을 법선벡터로 하고 $l_2$위의 점 $(0,0,0)$을 지나는 평면의 방정식을 구하면
$$P : x+y+z = 0$$
이다. 이제 이 평면 $P$와 직선 $l_1$위의 점 $(1,2,0)$와의 거리가 우리가 구하는 거리와 같고, 이 거리 $d$는
$$d = \frac{3}{\sqrt{3}} = \sqrt{3}$$
이다.

 

 

 

2022 아주대학교 편입수학 기출문제 13번 풀이

세 점 $\mathrm{O},\mathrm{A},\mathrm{B}$가 이루는 삼각형의 내부를 $D$라 하자.

그러면 구하는 넓이 $S$는
$$\begin{align}
    S &= \iint_D \sqrt{1 + (z_x)^2 + (z_y)^2 }dA \\ 
    &= \int_0^1 \int_0^x \sqrt{4x^2 + 5}dydx \\ 
    &= \int_0^1 x \sqrt{4x^2 + 5}dx \\ 
    &= \frac{1}{8}\int_5^9 \sqrt{t}dt \quad (4x^2 + 5 = t) \\ 
    &= \frac{9}{4} - \frac{5}{12}\sqrt{5}
\end{align}$$
이다.

 

 

 

2022 아주대학교 편입수학 기출문제 14번 풀이

구면좌표계를 이용하면 주어진 삼중적분은
$$\begin{align}
    &\text{(Integral)} \\
    &= \int_0^{\pi} \int_0^{\frac{\pi}{6}} \int_0^1 \rho\sin\phi\sin\theta \times \rho \times \rho^2 \sin\phi d\rho d\phi d\theta \\ 
    &= 2\times \frac{1}{5}\times \frac{1}{24}(2\pi - 3\sqrt{3}) \\ 
    &= \frac{\pi}{30} - \frac{\sqrt{3}}{20}
\end{align}$$
이다.

 

 

 

2022 아주대학교 편입수학 기출문제 15번 풀이

$g(5)=a$라 하면 역함수의 정의로부터 $f(a) = 5$인 $a$를 찾으면 된다.
이를 만족시키는 $a$의 값은 $a=2$이다.

 

 

 

2022 아주대학교 편입수학 기출문제 16번 풀이

역함수의 미분법으로부터
$$g'(5) = \frac{1}{f'(2)} = \frac{3}{14}$$
이다.

 

 

 

2022 아주대학교 편입수학 기출문제 17번 풀이

$x=f(t)$로 치환하면 주어진 적분은
$$\begin{align}
    \text{(Integral)} &= \int_1^2 tf'(t)dt \\ 
    &= \int_1^2 \left( t^3 + \frac{2}{3}t\right)dt \\ 
    &= \frac{19}{4}
\end{align}$$
이다.

 

 

 

2022 아주대학교 편입수학 기출문제 18번 풀이

주어진 직교좌표계 표현에 $x=r\cos\theta, y=r\sin\theta$를 대입하면 구하는 극방정식 표현은
$$r = \sin\theta + \cos\theta$$
이다.

 

 

 

2022 아주대학교 편입수학 기출문제 19번 풀이

구하는 넓이 $S$는
$$\begin{align}
    S &= \frac{1}{2}\int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} (\sin\theta + \cos\theta)^2 d\theta \\ 
    &= \frac{1}{2}\int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} (1 + 2\sin\theta\cos\theta)d\theta \\ 
    &= \frac{\pi}{12} + \frac{1}{4}
\end{align}$$
이다.

 

 

 

2022 아주대학교 편입수학 기출문제 20번 풀이

가장 먼저 $L(a), A(a), V(a)$를 전부 구해보면 다음과 같다.
$$\begin{align}
    & L(a) = \int_0^a \sqrt{1+e^{-2x}}dx \\ 
    & A(a) = 2\pi \int_0^a e^{-x}\sqrt{1+e^{-2x}}dx \\ 
    & V(a) = 2\pi \int_0^1 xe^{-x}dx
\end{align}$$
이를 바탕으로 선지의 참 거짓을 판단해보자.

가장 먼저 곡선의 길이를 구하는 구간이 증가하면 길이 ($L(a)$)도 증가할것이므로, 증가함수가 맞다.

한편 $0 \leq e^{-2x} \leq 1$이므로 $1 \leq \sqrt{1+e^{-2x}} \leq \sqrt{2}$가 성립하고 양변을 $0$부터 $a$까지 정적분하면
$$a \leq L(a) \leq \sqrt{2}a$$
가 성립한다. 그런데 $\sqrt{2}a \leq 2a$이므로, 다시 쓰면
$$a \leq L(a) \leq 2a$$
가 모두 성립한다. 

5번의 경우 로피탈의 정리를 적용하면 참임을 알 수 있다.

4번의 경우 $L'(1) = \sqrt{1+e^{-2}}$이므로 거짓이다.

 

 

 

2022 아주대학교 편입수학 기출문제 21번 풀이

위에서 구한 $A(a)$를 참고하면 구하는 극한값은
$$2\int_0^{\infty} e^{-x}\sqrt{1+e^{-2x}}dx$$
와 같다. 한편 $e^{-x}=t$로 치환하면 이 적분의 값은
$$\begin{align}
    \text{(Integral)} &= 2\int_0^1 \sqrt{1+t^2}dt \\ 
    &= 2\int_0^{\frac{\pi}{4}} \sec^3 u du \quad (t = \tan u) \\ 
    &= \sec u\tan u+\ln(\sec u+\tan u)\bigg|_0^{\frac{\pi}{4}} \\ 
    &= \sqrt{2} + \ln(\sqrt{2} + 1)
\end{align}$$
이다.

 

 

 

2022 아주대학교 편입수학 기출문제 22번 풀이

위에서 구한 $V(a)$를 참고하면 구하는 극한값은
$$2\pi\int_0^{\infty} xe^{-x}dx = 2\pi$$
이다.

 

 

 

2022 아주대학교 편입수학 기출문제 23번 풀이

 

 

 

2022 아주대학교 편입수학 기출문제 24번 풀이

 

 

 

2022 아주대학교 편입수학 기출문제 25번 풀이

 

 

 

마치며

이상으로 2022 아주대학교 편입수학 기출문제 정답 및 해설을 마치겠습니다.

오류, 오타 또는 궁금하신 점이 있으시면 댓글로 남겨주세요~