수학올인의 수학 기록

[수학] 교과내로 지수함수 다항함수 로그함수의 속도를 비교하는 방법안녕하세요. 수학올인입니다.이번 포스팅에서는 고등학교 과정으로 로그함수, 다항함수, 지수함수의 속도 비교에 대해 다뤄보겠습니다. 주로 고등학교에서 미적분을 배우면 초월함수의 극한을 다룰 때 로그함수는 다항함수보다 느리다.지수함수는 다항함수보다 빠르다. 라는 말을 들어보신 적이 있으실겁니다.여기서 속도가 느린 함수, 빠른 함수의 의미는 (느린 함수)/(빠른 함수) 의 극한이 0으로 간다는 의미입니다. 저런 말을 들어본 것 뿐 아니라 문제를 풀때도 문제의 끝에 달린$$\lim_{x\to\infty} x^2 e^{-x} = 0$$같은 조건을 보신 적이 있으실 겁니다. 이 조건을 왜 주는걸까요?평가원의 오피셜 답변이 있는지는 모르겠으나, 제 생각..

[수학] 지수함수가 다항함수가 아님을 증명하는 두 가지 방법안녕하세요 수학올인입니다.이번 포스팅에서는 제목과 같이 지수함수가 다항함수가 아님을 증명하는 두 가지 방법에 대해 알아보겠습니다. 다항함수는 다항함수고 지수함수는 지수함수인데, 이걸 증명할 거리가 되나 하는 생각도 드실겁니다.그러나 막상 $e^x$가 다항함수가 아님을 어떻게 보일까? 하면 조금 막막하기도 하고간단한 방법이 바로 떠오르지는 않습니다. 가장 잘 알려져 있는 방법은 $n$차 다항함수라고 가정하고 극한$$\lim_{x\to\infty} \frac{e^x}{x^{n+1}} =\infty$$을 이용하여 모순을 보이는 방법이 있는데요. 이걸 증명하기 위해서는 또다시 로피탈의 정리나 따로 부등식을 잡아서 위의 극한값을 정당화해야 합니다.그래서 ..

[수학] 장미곡선 성질 정리 (넓이, 그래프) 안녕하세요 수학올인입니다.이번 포스팅에서는 장미곡선에 대해 다뤄보겠습니다. 장미곡선이라 함은 다음과 같은 극곡선을 말합니다.$$\begin{align} r&=a\sin(k\theta) \\ r&= a\cos(k\theta)\end{align}$$여기서 $a$와 $k$는 상수인데, $a$는 잎의 크기를 결정하고, $k$는 잎의 개수를 결정합니다. 그리고 식을 쓸 때 $\sin$을 쓰냐 $\cos$를 쓰냐의 차이는 회전의 의미를 나타냅니다.(예를 들어, $r=\sin(2\theta)$와 $r=\cos(2\theta)$는 서로 회전된 관계에 있습니다.)따라서 이 글에서는 전부 $\sin$을 사용하여 서술합니다. 아무튼, 잎의 크기와 개수라니 무슨 말인지 싶으실 것..

[수학] 어떤 연속함수의 이상적분이 수렴하면 함수의 극한은 0인가?안녕하세요 수학올인입니다. 이번 포스팅에서는 제목과 같이 어떤 연속함수의 이상적분이 수렴하면피적분함수의 극한값이 $0$이 되는지, 즉, 수식으로 표현하면 연속함수 $f(x)$에 대하여$$\int_0^{\infty} f(x)dx 이 성립하는지에 대해 알아보겠습니다. 보통 고등학교에서 수학을 배우면서 급수에 대해 배우게 되는데, 이때 급수$$\sum_{n=1}^{\infty} a_n$$이 수렴하면 수열 $a_n$의 극한값은 $0$이라는 사실을 배우게 됩니다. 이때 주어진 무한합을 이산적인 함수(수열)에 대한 합이라고 바라본다면이상적분은 연속적인 함수에 대한 합이라고 생각해볼 수 있으므로이상적분에서도 마찬가지로 극한이 $0$인가? 라는 의문이 ..

[수학] 심장형 곡선의 성질 정리 (넓이, 길이, 접선의 기울기, 회전체의 부피 등등)안녕하세요 수학올인입니다.이번 포스팅에서는 제목과 같이 심장형 곡선의 성질들에 대해 알아보고 정리해보겠습니다.   심장형 곡선이란?우선 심장형 곡선이라 하면 다음과 같은 형태의 극곡선을 말합니다.$$r=a+b\cos\theta$$여기서 $a, b$의 변화에 따라 다양한 형태로 개형이 변화합니다만, 이번 포스팅에서는다음과 같은 형태의 심장형 곡선에 대해서만 다루겠습니다.$$r=a(1+\cos\theta)\quad (a > 0)$$그리고 이 심장형 곡선을 적당히 회전시켜서 아래의 세 심장형 곡선을 얻을 수 있습니다.$$\begin{align} & r=a(1-\cos\theta) \\ & r=a(1+\sin\theta) \\..

[수학] 구의 일부분의 겉넓이 공식안녕하세요 수학올인입니다.이번 포스팅에서는 구의 일부분의 겉넓이를 구하는 공식에 대해 다뤄보겠습니다. 먼저 공식의 형태를 알아보고, 공식을 직접 유도해본 뒤, 예제를 풀어보도록 하겠습니다.먼저 구의 일부분의 겉넓이 공식은 다음과 같습니다.구의 일부분의 겉넓이 공식구면 $S : x^2 + y^2 + z^2 = r^2$의 $a\leq z\leq b$에 해당하는 부분의 겉넓이 $S$는$$S = 2\pi \times r \times (b-a)$$이다. 구면의 넓이를 구하는 방법은 회전곡면의 겉넓이 방식을 이용해도 되고, 면적분을 이용해도 되는데요.이번 포스팅에서는 회전곡면의 겉넓이를 구하는 방법을 이용해서 구해보도록 하겠습니다. 먼저 다음과 같은 구가 있다고 해보겠습니다.$$S..

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[수학] 반원과 사분원의 내부 및 그 호의 질량중심안녕하세요 수학올인입니다.이번 포스팅에서는 원 및 원 호의 질량중심에 대해 다뤄보겠습니다. 별도의 밀도함수가 없다고 가정하고, 원의 질량중심과 원 호의 질량중심은 주로 회전체의 부피나회전체의 겉넓이를 구할 때 파푸스의 정리와 함께 이용됩니다.일반적인 시험에서는 잘 이용되지 않고, 편입 수학과 같이 시간 제한이 타이트한 경우 주로 이용하구요. 결론적으로 반구의 부피 및 반구면의 겉넓이를 구할 때 이용될 수 있습니다.이번 포스팅에서는 반원 및 사분원인 경우만 다루며, 그 일부분이 정확히 제 1, 2, 3, 4사분면의한 영역 또는 두 영역에만 포함된다고 가정하겠습니다.   반원과 사분원 내부의 질량중심우선 완벽한 원의 질량중심은 당연하게도 원의 중심과 같습니다..

안녕하세요 수학올인입니다. 이번 포스팅에서는 제목과 같이 심프슨 공식을 이용하여다항함수의 적분값을 빠르게 구하는 방법을 알아보겠습니다.   심프슨 공식이란?들어가기 전에, 심프슨 공식이 뭔지부터 알아야 얘기가 될 것입니다.심프슨 공식닫힌 구간 $[a, b]$에서 함수 $f(x)$의 적분값인$$\int_a^b f(x)dx$$은 다음과 같이 근사할 수 있다.$$\int_a^b f(x)dx \approx \frac{b-a}{6}\left(f(a) + 4f\left(\frac{a+b}{2}\right)+f(b)\right)$$이때, 원래의 적분값과 근삿값의 오차는 $a$$\text{(Error)} = -\frac{1}{90}\times \frac{(b-a)^5}{2^5} f^{(4)}(c)$$이다.위에서 볼 수..

[수학] 고등학생을 위한 코시 함수방정식 개념 정리 안녕하세요 수학올인입니다.