수학올인의 수학 기록

삼각함수 적분을 월리스 공식을 통해 빠르게 계산하기 (Wallis 공식) 안녕하세요 수학올인입니다. 우리가 문제를 풀다 보면 삼각함수의 적분값을 계산해야 하는 상황을 자주 만납니다. 물론 간단한 $\sin x$, $\cos x$정도를 적분하는 상황이라면 그냥 계산하면 되겠지만 만약 피적분함수가 $\sin^5 x$, $\sin^7x \cos^2x$이라면 어떨까요? 물론 치환적분이나 부분적분을 적당히 사용하면 계산가능하겠지만 이는 상당히 번거로운 작업이 될겁니다. 이번 포스팅에서 다룰 월리스 공식은 적분 구간이 특수한 상황일 때 적분값을 매우 빠르게 단순 계산만으로 구할 수 있도록 해주는 공식입니다. 그럼 바로 알아보도록 하겠습니다. 월리스 공식 (Wallis 공식) 임의의 자연수 $n$에 대하여 다음이 성..

도함수의 극한과 원함수의 극한의 관계 안녕하세요 수학올인입니다. 이번 포스팅에서는 도함수의 극한과 원함수의 극한은 어떤 관계를 가지는지에 대해 다뤄보려고 합니다. 내용은 크게 2개의 주제를 다룰 텐데요, 1. 도함수의 극한이 0으로 수렴하면 원함수의 극한도 수렴하는지 ($\displaystyle\lim_{x\to\infty}f'(x)=0$이면 $\displaystyle\lim_{x\to\infty}f(x)$도 수렴하는지) 2. 원함수의 극한이 수렴하면 도함수의 극한이 0으로 수렴하는지 ($\displaystyle\lim_{x\to\infty}f(x)$가 수렴하면 $\displaystyle\lim_{x\to\infty}f'(x)=0$인지) 에 대해서 알아보도록 하겠습니다. 우리가 함수 $f(x)$의 그래프..

우함수는 항상 x=0에서 극값을 가질까? 안녕하세요 수학올인입니다. 이번 포스팅에서는 함수 $f(x)$가 우함수라면 항상 $x=0$에서 극값을 갖는지에 대해 알아보겠습니다. 이전에도 말했듯, 이런 종류의 명제를 접했을 때 가장 먼저 할 수 있는 접근은 우리가 잘 알고 있는 함수들에 대해 성립하는지 테스트해 보는 것입니다. 우리가 생각할 수 있는 가장 만만한 함수는 당연히 다항함수입니다. 그럼 가장 만만한 이차함수에 대해서 먼저 확인해 볼까요? 위 그래프는 곡선 $y=x^2$의 그래프입니다. 함수 $f(x)=x^2$이 우함수인 것은 쉽게 알 수 있고, $x=0$에서 극값(극소)을 가짐도 쉽게 알 수 있네요. 그럼 다음으론, 삼각함수는 어떨지 확인해 보겠습니다. 위 그래프는 곡선 $y=\cos x$의 그래프..

함수가 극값을 가지면 그 지점에서 증감이 변할까? 안녕하세요 수학올인입니다. 이번 포스팅에서는 제목과 같이 어떤 미분가능한 함수 $f(x)$가 $x=a$에서 극값을 가진다면 $x=a$를 기준으로 함수 $f(x)$의 증감이 바뀌는지에 대해 다뤄보도록 하겠습니다. 그리고 본문에서는 상수함수는 제외하도록 하겠습니다. 이런 종류의 명제를 접했을 때 가장 먼저 해볼 수 있는 생각은 우리가 잘 알고 있는 함수들에 대해서 먼저 생각해보는 것입니다. 우리가 가장 잘 아는 함수는 당연히 다항함수겠죠? 그중에서 극값을 가지는 건 당연히 가장 만만한 이차함수일텐데요. 이차함수의 그래프를 확인하면 극값을 가지는 지점을 전후로 함수의 증감이 바뀌는걸 확인할 수 있습니다. 그럼 다른 함수는 어떨까요? 다항함수를 빼고 극값을 갖는..

한 점에서 도함수가 양수지만 그 근방에서 증가하지 않는 함수 안녕하세요 수학올인입니다. 이번 포스팅에서는 어떤 한 점에서 양수인 도함수를 갖지만 그 점을 포함하는 어떤 근방에서도 증가하지 않는 함수에 대해 다뤄보려고 합니다. 사실 직관적으로 생각해 본다면 한 점에서 도함수가 양수라는 사실은 그 점에서 기울기가 양수, 즉 증가하는것 처럼 생겼다고 예상해 볼 수 있습니다. 그런데 그 근방에서 증가하지 않는 함수라니 반직관적인 결론을 얻는 상황이죠. 이는 어떤 함수가 있을 때 미분을 통해 얻어낸 정보가 굉장히 국소적인 정보만을 포함하고, 그 국소적인 정보만으로 함수가 어떻게 생겼는지 파악할 수 없다는 말이기도 합니다. 그럼 반례를 알아보겠습니다. 반례 함수 $$ f(x) = \begin{cases} \frac..

편미분을 이용한 음함수의 도함수, 이계도함수 공식 유도하기 안녕하세요 수학올인입니다. 이번 포스팅에서는 편미분을 이용한 음함수의 도함수 공식과, 이계도함수 공식에 대해 다뤄보려 합니다. 물론 고등학교에서 가르치는 방식인 양변을 $x$로 미분한 뒤 $y'$에 대한 식으로 정리하여 도함수를 구할 수도 있습니다. 다만 이 방법은 이후 이계도함수를 구할 때 식이 많이 복잡해지기도 하고 계산실수를 할 확률도 높아서 저는 편미분을 활용한 방법을 더 선호합니다. 음함수 미분의 경우 보통 객관식으로 나오는 경우가 많기 때문에 고등학생이신 분들도 익혀두시면 문제풀이에 바로 적용하실 수 있을 겁니다. (서술형이면 편미분을 사용할 수 없겠죠?) 우선 편미분을 배우지 않은 고등학생 독자분들이 있을 수 있으니 먼저 편미분에 대..

이차 이하의 다항함수를 해로 가지는 함수방정식 안녕하세요 수학올인입니다. 저번 함수방정식 포스팅에 이어 이번 포스팅도 함수방정식을 다뤄보려고 합니다. 물론 경시대회에 나오는 함수방정식 유형과는 조금 다른 함수방정식들을 다루고 있지만요. 이번 문제도 내신 문제를 질문받던 중 문제로 나왔던 함수방정식인데요, 이 함수방정식의 해가 되는 함수 $f(x)$가 이차 이하의 다항함수임을 알고 있으면 풀이 속도가 상당히 빨라지는 문제였습니다. 그럼 시작하겠습니다. 문제 다음 조건을 만족시키는 미분가능한 함수 $f(x)$를 모두 구하시오. 서로 다른 임의의 두 실수 $x, y$에 대하여 $$f'\left(\frac{x+y}{2}\right)=\frac{f(x)-f(y)}{x-y}$$ 가 성립한다. 풀이 양변에 $x-y$..

평균값 정리의 변형, Flett의 평균값 정리 (Flett's mean value theorem) 안녕하세요 수학올인입니다. 이번 포스팅에서는 평균값 정리의 변형된 형태인 Flett의 평균값 정리 (Flett's mean value theorem)에 대해 다뤄보려고 합니다. 평균값 정리의 변형된 형태이니 당연히 기존의 평균값 정리로부터 유도가능한 내용이지만, 매번 유도해서 쓰기 번거롭기도 하고 아예 이 Flett의 평균값 정리와 동치가 되는 상황을 물어보는 문제도 있기 때문에 이런류의 문제를 많이 푸는 경우 알아둔다면 나쁠것이 없기도 하죠. Flett의 평균값 정리 (Flett's mean value theorem) : 닫힌 구간 $[a, b]$에서 미분가능한 함수 $f(x)$가 $f'(a)=f'(b)$..

함수방정식 f'(x)=(f(x+n)-f(x))/n의 풀이 방법 안녕하세요 수학올인입니다. 최근 질문받은 내신 문제 중 흥미로운 문제가 있어 글을 쓰게 되었는데요. 이번 글에서는 제목과 같이 함수방정식 $$f'(x)=\frac{f(x+n)-f(x)}{n}$$ 의 풀이 방법과 그 해에 대해서 다뤄보겠습니다. 문제 모든 실수 $x$와 모든 자연수 $n$에 대하여 $$f'(x)=\frac{f(x+n)-f(x)}{n}$$ 를 만족시키는 실수 전체의 집합에서 미분가능한 함수 $f(x)$를 모두 구하시오. 풀이 주어진 식에 $n=1$을 대입하면 모든 실수 $x$에 대하여 $$f'(x)=f(x+1)-f(x)$$ 를 얻는다. 함수 $f(x)$가 미분가능하므로, 함수 $f'(x)$도 미분가능하다. 양변을 미분하면 $$f'..