[수학] 편미분을 이용한 음함수의 도함수, 이계도함수 공식 유도하기

편미분을 이용한 음함수의 도함수, 이계도함수 공식 유도하기

안녕하세요 수학올인입니다.

 

이번 포스팅에서는 편미분을 이용한 음함수의 도함수 공식과, 이계도함수 공식에 대해 다뤄보려 합니다.

물론 고등학교에서 가르치는 방식인 양변을 $x$로 미분한 뒤 $y'$에 대한 식으로 정리하여

도함수를 구할 수도 있습니다.

 

다만 이 방법은 이후 이계도함수를 구할 때 식이 많이 복잡해지기도 하고

계산실수를 할 확률도 높아서 저는 편미분을 활용한 방법을 더 선호합니다.

음함수 미분의 경우 보통 객관식으로 나오는 경우가 많기 때문에 고등학생이신 분들도

익혀두시면 문제풀이에 바로 적용하실 수 있을 겁니다. (서술형이면 편미분을 사용할 수 없겠죠?)

 

우선 편미분을 배우지 않은 고등학생 독자분들이 있을 수 있으니 먼저 편미분에 대해 아주 간단하게

다뤄보겠습니다.

 

편미분을 생각하기 이전에 독립 변수가 여러 개인 함수를 생각해 보겠습니다. 

고등학교 과정에선 $y=f(x)$라는 독립변수가 $x$ 한 개인 함수만 다루지만, 

$z=x^2+xy+y^2$이라는 종속 변수가 $z$, 독립 변수가 $x, y$인 함수를 생각해 보죠.

 

편미분은 여러 개의 독립변수가 있을 때 한 개의 독립 변수만 변수로 취급하고,

나머지 독립 변수는 상수취급하여 미분하는 방법입니다. 

그럼 이 경우에선 독립변수가 $x, y$로 두 가지이니 $x$로 편미분을 할 수도 있고

$y$로 편미분을 할 수도 있겠네요.

 

한번 직접 편미분을 해볼게요. $x$로 편미분하면 $y$는 상수이므로

$$z_x=(x^2)'+(xy)'+(y^2)'=2x+y$$

임을 얻습니다. $z_x$는 $x, y$에 대한 함수 $z$를 $x$만 변수로 취급하여 미분했다는 뜻입니다.

 

고등학생이시라면 '여러 변수중 하나만 변수로 취급하여 미분한다'라고만 이해해도 충분합니다. 

사실 아래의 내용을 읽어보시면 아시겠지만 고등학교 과정으로 증명을 할 수는 없어요.

그럼에도 편미분을 설명하는 이유는 아래에서 다룰 공식대로 음함수의 도함수와 이계도함수를 계산할 때

편미분을 할 줄 알아야 하기 때문입니다. 그럼 시작해 볼게요.

 

 

 

음함수의 도함수 공식

음함수 $f(x, y)=0$의 도함수는 다음과 같다.

$$\frac{dy}{dx}=-\frac{f_x}{f_y}$$
(단, $f_x, f_y$는 음함수 $f$의 $x$, $y$로의 편미분이다.)

 

 

 

증명

주어진 등식

$$f(x,y) = 0$$
의 양변을 $x$로 미분하면 연쇄법칙으로부터

$$f_x\times\frac{dx}{dx}+f_y\times\frac{dy}{dx}=0$$
임을 얻는다. 식을 정리하면

$$\frac{dy}{dx}=-\frac{f_x}{f_y}$$
이므로 원하는 결론을 얻는다.

음함수의 도함수는 연쇄법칙을 통해서 바로 공식이 유도되며, 아마 미적분학을 배우신 분들은

공부하신 책에 예제로 이 공식을 유도하는 문제가 있을 확률이 높습니다.

 

음함수의 이계도함수 또한 이 상태에서 연쇄법칙을 동일하게 적용해서 얻어낼 수 있는데요,

구체적인 내용과 증명은 아래와 같습니다.

 

 

 

음함수의 이계도함수 공식

음함수 $f(x, y)=0$의 이계도함수는 다음과 같다.

$$\frac{d^2y}{dx^2}=-\frac{(f_x)^2f_{yy}-f_xf_y\left(f_{xy}+f_{yx}\right)+(f_y)^2f_{xx}}{(f_y)^3}$$
특별히 이계편도함수 $f_{xy}$, $f_{yx}$가 연속인 경우 $f_{xy}=f_{yx}$이므로

$$\frac{d^2y}{dx^2}=-\frac{(f_x)^2f_{yy}-2f_xf_yf_{xy}+(f_y)^2f_{xx}}{(f_y)^3}$$
이다.

 

 

 

증명

앞서 음함수의 도함수가 

$$\frac{dy}{dx}=-\frac{f_x}{f_y}$$
임을 증명했다. 이 식의 양변을 $x$로 미분하면 연쇄법칙으로부터

$$\begin{align}
\frac{d^2y}{dx^2}&=-\frac{\frac{df_x}{dx}f_y - f_x\frac{df_y}{dx}}{(f_y)^2} \\
&=-\frac{\left(f_{xx}+f_{xy}\frac{dy}{dx}\right)f_y - f_x\left(f_{yx}+f_{yy}\frac{dy}{dx}\right)}{(f_y)^2} \\ 
&=-\frac{\left(f_{xx}+f_{xy}\left(-\frac{f_x}{f_y}\right)\right)f_y - f_x\left(f_{yx}+f_{yy}\left(-\frac{f_x}{f_y}\right)\right)}{(f_y)^2} \\ 
&=-\frac{(f_x)^2f_{yy}-f_xf_y\left(f_{xy}+f_{yx}\right)+(f_y)^2f_{xx}}{(f_y)^3}
\end{align}$$
이 성립한다.

한편 이계편도함수 $f_{xy}, f_{yx}$가 모두 연속인 경우 클레로 정리로부터 $f_{xy}=f_{yx}$이므로

$$\frac{d^2y}{dx^2}=-\frac{(f_x)^2f_{yy}-2f_xf_yf_{xy}+(f_y)^2f_{xx}}{(f_y)^3}$$
임을 얻는다.

음함수의 이계도함수도 연쇄법칙을 이용하여 바로 증명이 되는데, 계산이 조금 복잡하죠.

그래서 음함수의 이계도함수는 증명은 어차피 연쇄법칙으로 되기 때문에, 공식만 외워서 계산만 하는 편입니다.

 

수능의 경우 음함수의 도함수는 가끔 물어보지만 음함수의 이계도함수를 물어본 경우는 본 적이 없고,

주로 편입수학에서 자주 물어보는 것 같습니다.

 

그럼 각각의 경우에 대해 예제를 다뤄본 뒤 글 마치도록 하겠습니다.

 

 

 

예제 1 : 음함수의 도함수

문제
곡선 $x^2+3xy+y^2=5$ 위의 점 $(1, 1)$에서의 접선을 구하시오.



풀이
음함수의 도함수는 

$$\frac{dy}{dx}=-\frac{f_x}{f_y}=-\frac{2x+3y}{3x+2y}$$
이다. $x=1, y=1$을 대입하면 $y'=-1$이다.
따라서 구하는 접선은 점 $(1, 1)$을 지나고 기울기가 $-1$인 직선이므로
$y=-x+2$이다.

 

 

 

예제 2 : 음함수의 이계도함수

문제
곡선 $x^2\cos(x+y)=3y$위의 점 $(0, 0)$에서 $y''$의 값을 구하시오.



풀이
$f(x, y)=x^2\cos(x+y)-3y$라고 하면 주어진 음함수는 $f(x, y)=0$과 같다.
이제 $x, y$에 대한 편도함수와 이계편도함수 값을 각각 구하면
$$\begin{align}
&f_x=2x\cos(x+y)-x^2\sin(x+y)=0 \\ 
&f_y=-x^2\sin(x+y)-3=-3 \\ 
&f_{xx} = 2\cos(x+y)-2x\sin(x+y)-\left(x^2\sin(x+y)\right)' = 2 \\ 
&f_{yy} = -x^2\cos(x+y) = 0 \\
&f_{xy} = -2x\sin(x+y) - x^2\cos(x+y) = 0
\end{align}$$
이다. 음함수의 이계도함수 공식

$$\frac{d^2y}{dx^2}=-\frac{(f_x)^2f_{yy}-2f_xf_yf_{xy}+(f_y)^2f_{xx}}{(f_y)^3}$$
에 대입하면

$$y''=\frac{d^2y}{dx^2}=-\frac{0-0+(-3)^2\times 2}{(-3)^3} = \frac{2}{3}$$
이다.

음함수의 도함수, 이계도함수를 다루는 문제까지 다뤄보았습니다. 

음함수의 도함수는 고등학교 시험에도 간혹 물어보는 문제가 나오는데, 이때 편미분을 활용하면

복잡한 계산을 줄일 수 있어서 고등학생도 알아둘 만하다고 생각합니다.

 

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