[수학] 이차 이하의 다항함수를 해로 가지는 함수방정식

이차 이하의 다항함수를 해로 가지는 함수방정식

 

안녕하세요 수학올인입니다.

 

저번 함수방정식 포스팅에 이어 이번 포스팅도 함수방정식을 다뤄보려고 합니다.

 

물론 경시대회에 나오는 함수방정식 유형과는 조금 다른 함수방정식들을 다루고 있지만요.

 

이번 문제도 내신 문제를 질문받던 중 문제로 나왔던 함수방정식인데요,

이 함수방정식의 해가 되는 함수 $f(x)$가 이차 이하의 다항함수임을 알고 있으면

풀이 속도가 상당히 빨라지는 문제였습니다.

 

그럼 시작하겠습니다.

 

 

 

문제

다음 조건을 만족시키는 미분가능한 함수 $f(x)$를 모두 구하시오.

서로 다른 임의의 두 실수 $x, y$에 대하여

$$f'\left(\frac{x+y}{2}\right)=\frac{f(x)-f(y)}{x-y}$$ 
가 성립한다.

 

 

 

풀이

양변에 $x-y$를 곱하고 주어진 식을 다시 쓰면 

$$(x-y)f'\left(\frac{x+y}{2}\right)=f(x)-f(y)$$
이다. 이제 $x=u+v$, $y=u-v$로 치환하면 주어진 식은

$$2vf'(u)=f(u+v)-f(u-v)$$
가 성립한다.

이 식의 양변을 $v$로 두 번 미분하면 

$$f''(u+v)=f''(u-v)$$
임을 얻고, 이는 곧 $f''(x)$가 상수함수임을 의미한다. 

따라서 $f(x)$는 이차 이하의 다항함수다.

 

 

 

마무리

풀이 자체는 그렇게 길지 않습니다.

 

주어진 식이 두 점을 지나는 직선의 기울기와 그 두 점의 중점에서의 순간변화율이 같음을 의미하는데,

 

직관력이 좋으신 분들은 이를 보자마자 이차함수를 떠올리셨을 것 같습니다.

 

그 이후로 차수를 줄여보면 일차함수, 상수함수도 해가 된다는 사실을 어렵지 않게 확인할 수 있게 되겠죠.

형태를 보고 추측하기 쉽지만 별다른 조건 없이 함수방정식 하나로 함수의 범위가 좁혀지기 때문에

학교 내신 시험에서 내기 참 좋은 소재 같습니다.

 

그럼 오타, 오류가 있거나 궁금하신 점이 있다면 댓글로 남겨주세요~