[수학] 평균값 정리의 변형, Flett의 평균값 정리

평균값 정리의 변형, Flett의 평균값 정리 (Flett's mean value theorem)

안녕하세요 수학올인입니다.

 

이번 포스팅에서는 평균값 정리의 변형된 형태인 Flett의 평균값 정리

(Flett's mean value theorem)에 대해 다뤄보려고 합니다.

 

평균값 정리의 변형된 형태이니 당연히 기존의 평균값 정리로부터 유도가능한 

내용이지만, 매번 유도해서 쓰기 번거롭기도 하고 아예 이 Flett의 평균값 정리와

동치가 되는 상황을 물어보는 문제도 있기 때문에 이런류의 문제를 많이 푸는 경우

알아둔다면 나쁠것이 없기도 하죠.

 

 

 

Flett의 평균값 정리 (Flett's mean value theorem) : 

닫힌 구간 $[a, b]$에서 미분가능한 함수 $f(x)$가 $f'(a)=f'(b)$이면

$$f'(c)=\frac{f(c)-f(a)}{c-a}$$
인 실수 $c \in (a, b)$가 존재한다.

 

 

 

증명

만약 $f'(a)\neq 0$이라면 함수 $f(x)-xf'(a)$를 고려하면 되므로 일반성을 잃지 않고 $f'(a)=f'(b)=0$이라 하자.

이제 보조함수

$$g(x)=\frac{f(x)-f(a)}{x-a},\quad g(a)=0\quad (a \leq x \leq b)$$
를 생각하자. 그러면 $f'(a)=0$이므로 $g(a)=0$이다. 즉, 함수 $g(x)$는 구간 $[a, b]$에서 연속이고
$(a, b]$에서 미분가능하다. 양변을 미분하면

$$g'(x)=\frac{(x-a)f'(x)-(f(x)-f(a))}{(x-a)^2}\quad (a < x \leq b)$$ 
이다. 이제

$$g'(c)=0 \quad \Leftrightarrow \quad f'(c)=\frac{f(c)-f(a)}{c-a}$$
이므로 $g'(c)=0$인 $c$의 존재성만 보이면 된다.

1) $g(b)=0$인 경우 : 
$g(a)=g(b)=0$이므로 롤의 정리로부터 $g'(c)=0$인 $c \in (a, b)$가 존재하게 된다.

2) $g(b)>0$인 경우 : 

$$g'(b)=-\frac{f(b)-f(a)}{(b-a)^2}=-\frac{g(b)}{b-a} < 0$$
이다. 이는 $g(x_1)>g(b)$를 만족시키는 어떤 실수 $x_1$가 존재함을 의미한다.

왜냐하면 만약 구간 $[a, b]$에서 항상 $g(x)\le g(b)$라고 하면

$$g'(b)=\lim_{x\to b-}\frac{g(x)-g(b)}{x-b}\geq 0$$
이므로 모순이기 때문이다.

따라서 구간 $(a, b)$에 $g(x_1)>g(b)$를 만족시키는 어떤 실수 $x_1$이 존재한다.

한편 함수 $g(x)$는 구간 $[a, x_1]$에서도 연속이고, $g(a)<g(b)<g(x_1)$이므로 구간 $(a, x_1)$에
$g(x_2)=g(b)$를 만족시키는 어떤 실수 $x_2$가 존재한다. 마찬가지로 롤의 정리로부터
$g'(c)=0$인 $c \in (x_2, b)$가 존재하고 $(x_2, b) \subset (a, b)$이므로 원하는 결론을 얻는다.

3) $g(b)<0$인 경우 : 
2)와 유사하게 진행하면 된다. 증명 끝.

Flett의 평균값 정리 - 참고용 이미지

2)의 상황이 잘 이해가 안 되실까 봐, 이해를 돕기 위한 그래프의 개형을 가져왔습니다.

위의 개형과 유사한 상황이라고 이해하시면 됩니다.

 

여기까지 해서 Flett의 평균값 정리 (Flett's mean value theorem)의 증명을 알아봤습니다.

 

증명만 하고 끝나면 허전하니 예시 문제도 하나 가져왔는데요, 예시 문제와 풀이까지 다뤄본 뒤

글 마치겠습니다.

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예시 문제 (Flett의 평균값 정리)

문제
연속함수 $f \colon [0, 1]\to\mathbb{R}$이 다음을 만족시킨다.

$$\int_0^1f(x)dx=0$$
이때, 다음을 만족시키는 실수 $c \in (0, 1)$이 적어도 하나 존재함을 보이시오. 

$$\int_0^c xf(x)dx=0$$

 

 

 

풀이

풀이
다음과 같은 두 함수를 생각하자.

$$\begin{align}&p(x)=\int_0^x\int_0^t f(u)dudt \\
&q(x)=\int_0^x tf(t)dt  \end{align}$$

그러면 $q(c)=0$인 $c$의 존재성만 보이면 충분하다.

한편 $p'(0)=p'(1)=q(0)=0$이고 $p''(x)=f(x)$이다. 부분적분을 이용하면

$$\begin{align}
q(x)&=\int_0^x tf(t)dt \\
&= \int_0^x tp''(t)dt \\
&= xp'(x)-p(x)
\end{align}$$
이 성립함을 알 수 있다. $p'(0)=p'(1)=0$이므로 Flett의 평균값 정리를 이용하면

$$p'(c)=\frac{p(c)-0}{c-0}\quad\Longrightarrow\quad cp'(c)-p(c)=0$$
인 실수 $c$가 적어도 하나 존재한다. 그런데 $q(x)=xp'(x)-p(x)$이므로 위 식은

$$q(c)=0\quad\Longrightarrow\quad \int_0^c xf(x)dx=0$$
인 실수 $c$가 적어도 하나 존재함을 의미하므로 원하는 결론을 얻는다.

기회가 된다면 평균값 정리의 다른 변형꼴에 대해서도 다뤄보도록 하겠습니다.

 

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