수학올인의 수학 기록

[수학] 장미곡선 성질 정리 (넓이, 그래프)안녕하세요 수학올인입니다.이번 포스팅에서는 장미곡선에 대해 다뤄보겠습니다. 장미곡선이라 함은 다음과 같은 극곡선을 말합니다.$$\begin{align} r&=a\sin(k\theta) \\ r&= a\cos(k\theta)\end{align}$$여기서 $a$와 $k$는 상수인데, $a$는 잎의 크기를 결정하고, $k$는 잎의 개수를 결정합니다. 그리고 식을 쓸 때 $\sin$을 쓰냐 $\cos$를 쓰냐의 차이는 회전의 의미를 나타냅니다.(예를 들어, $r=\sin(2\theta)$와 $r=\cos(2\theta)$는 서로 회전된 관계에 있습니다.)따라서 이 글에서는 전부 $\sin$을 사용하여 서술합니다. 아무튼, 잎의 크기와 개수라니 무슨 말인지 싶으실 것 ..

[수학] 어떤 연속함수의 이상적분이 수렴하면 함수의 극한은 0인가?안녕하세요 수학올인입니다. 이번 포스팅에서는 제목과 같이 어떤 연속함수의 이상적분이 수렴하면피적분함수의 극한값이 $0$이 되는지, 즉, 수식으로 표현하면 연속함수 $f(x)$에 대하여$$\int_0^{\infty} f(x)dx 이 성립하는지에 대해 알아보겠습니다. 보통 고등학교에서 수학을 배우면서 급수에 대해 배우게 되는데, 이때 급수$$\sum_{n=1}^{\infty} a_n$$이 수렴하면 수열 $a_n$의 극한값은 $0$이라는 사실을 배우게 됩니다. 이때 주어진 무한합을 이산적인 함수(수열)에 대한 합이라고 바라본다면이상적분은 연속적인 함수에 대한 합이라고 생각해볼 수 있으므로이상적분에서도 마찬가지로 극한이 $0$인가? 라는 의문이 ..

[수학] 심장형 곡선의 성질 정리 (넓이, 길이, 접선의 기울기, 회전체의 부피 등등)안녕하세요 수학올인입니다.이번 포스팅에서는 제목과 같이 심장형 곡선의 성질들에 대해 알아보고 정리해보겠습니다.   심장형 곡선이란?우선 심장형 곡선이라 하면 다음과 같은 형태의 극곡선을 말합니다.$$r=a+b\cos\theta$$여기서 $a, b$의 변화에 따라 다양한 형태로 개형이 변화합니다만, 이번 포스팅에서는다음과 같은 형태의 심장형 곡선에 대해서만 다루겠습니다.$$r=a(1+\cos\theta)\quad (a > 0)$$그리고 이 심장형 곡선을 적당히 회전시켜서 아래의 세 심장형 곡선을 얻을 수 있습니다.$$\begin{align} & r=a(1-\cos\theta) \\ & r=a(1+\sin\theta) \\..

[수학] 구의 일부분의 겉넓이 공식안녕하세요 수학올인입니다.이번 포스팅에서는 구의 일부분의 겉넓이를 구하는 공식에 대해 다뤄보겠습니다. 먼저 공식의 형태를 알아보고, 공식을 직접 유도해본 뒤, 예제를 풀어보도록 하겠습니다.먼저 구의 일부분의 겉넓이 공식은 다음과 같습니다.구의 일부분의 겉넓이 공식구면 $S : x^2 + y^2 + z^2 = r^2$의 $a\leq z\leq b$에 해당하는 부분의 겉넓이 $S$는$$S = 2\pi \times r \times (b-a)$$이다. 구면의 넓이를 구하는 방법은 회전곡면의 겉넓이 방식을 이용해도 되고, 면적분을 이용해도 되는데요.이번 포스팅에서는 회전곡면의 겉넓이를 구하는 방법을 이용해서 구해보도록 하겠습니다. 먼저 다음과 같은 구가 있다고 해보겠습니다.$$S..

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.[수학] 심프슨 공식을 통한 삼차함수의 넓이 빠르게 구하기

[수학] 고등학생을 위한 코시 함수방정식 개념 정리 안녕하세요 수학올인입니다.

[수학] 평균값 정리의 응용과 세타의 극한을 구하는 문제 (1/2)안녕하세요 수학올인입니다.이번 포스팅에서는 평균값 정리를 응용하는 문제 중 세타의 극한을 구하는 유형에 대해 다뤄보겠습니다. 먼저 다음과 같은 문제를 보신 적 있으신가요?예제함수 $f(x) = x^3$에 대하여 $\theta (0$$f(a+h)=f(a)+hf'(a+\theta h)$$를 만족시킬 때, $\displaystyle\lim_{h\to 0+}\theta$의 값은? (단, $a>0, h>0$) 이런 유형의 문제는 문제집을 풀다 보면 한 번쯤 만날 수 있는 문제입니다.보통은 주어진 함수 $f(x)$에 전부 대입한 뒤 식을 $\theta$에 대해 정리하여직접 극한값을 구하는 경우가 많은데요. 사실 이 유형의 문제는 정답이 정해져있다는 ..

[수학] 원뿔면의 겉넓이 (표면적) 공식 정리 안녕하세요 수학올인입니다. 이번 포스팅에서는 원뿔면의 겉넓이(표면적)에 대해서 다뤄보겠습니다. 가장 먼저 원뿔면이 무엇인지 알아야겠죠? 원뿔면은 다음과 같은 이변수함수 $$z=f(x,y)=\sqrt{x^2 + y^2}$$ 와 같은 모양을 평행이동 또는 대칭이동하여 얻은 곡면을 말합니다. 그럼 이번 포스팅에서 말하고자 하는 바를 단도직입적으로 정리해보면 아래와 같습니다. 원뿔면의 겉넓이 공식 $xy$평면 위의 영역 $D$ 위에서 원뿔면 $$z=\sqrt{x^2+y^2}$$ 의 겉넓이 $S$는 $$S=\sqrt{2}\times\text{Area}(D)$$ 이다. (단, $\text{Area}(D)$는 영역 $D$의 넓이이다.) 증명 과정은 아래와 같습니다. 원뿔..