수학올인의 수학 기록

[수학] 무리수의 무리수 제곱은 항상 무리수인가? 안녕하세요 수학올인입니다. 이번 포스팅에서는 무리수의 무리수 제곱이 항상 무리수가 되는지에 대해 다뤄보겠습니다. 우선 직관적으로 생각하기에 (펜을 들고 해보진 않았지만) 무리수끼리 연산을 하니 뭔가 결과도 당연히 무리수라고 생각이 되긴 합니다. 그런데 과연 어떤 경우를 상정하더라도 무리수가 될까요? 무리수가 되는지 말고 더 원론적인 이야기를 해볼게요. 우리가 무리수의 무리수 제곱이 무리수인지, 유리수인지 따질 순 있을까요?? 교과서에서 $\sqrt {2}$가 무리수임을 보이는 증명 과정을 보통 한 번씩은 보셨을 겁니다. 이 과정 자체도 생각보다 되게 길고 복잡하죠. 이 증명과 비슷하게 무리수의 무리수 제곱이 무리수인지 유리수인지 따질 수 있을까요? 결론만..

[수학] 임의의 함수를 우함수의 기함수의 합으로 표현하는 방법 안녕하세요 수학올인입니다. 이번 포스팅에서는 임의의 함수 $f(x)$를 우함수와 기함수의 합으로 표현할 수 있음을 증명하고, 구체적으로 어떻게 표현되는지에 대해 다뤄보겠습니다. 언뜻 들으면 이게 가능하다고? 싶은 생각이 들 수도 있습니다. 왜냐하면 우함수는 $y$축에 대칭인 함수고, 기함수는 원점에 대칭인 함수인데 특정 대칭성을 가진 함수를 더했는데 아무런 대칭성이 없는 일반적인 함수가 나온다는것이 직관적으로 잘 이해가 안 될 수 있습니다. 하지만 (떠올리긴 어려울 수 있지만) 생각보다 쉬운 방법으로, 그리고 그 우함수와 기함수도 생각보다 간단한 형태로 나타낼 수 있습니다. 지금부터 한번 알아볼게요. 본론으로 들어가기 전에 다음 두 가지 정리..

[수학] 다항함수와 지수함수의 곱의 빠른 적분 안녕하세요 수학올인입니다. 이번 포스팅에서는 다항함수와 지수함수가 곱해졌을 때 빠른 적분 방법에 대해 알아보겠습니다. 사실 곱해진 함수가 꼭 다항함수일 필요는 없는데요. 다만, 다항함수의 경우 계속 미분을 하다 보면 언젠가는 $0$이 되기 때문에 주로 곱해진 함수가 다항함수일 때 사용하는 편입니다. 그럼 바로 시작할게요. 지수함수의 빠른 부분적분 원하는 만큼 미분가능한 함수 $f(x)$에 대하여 다음이 성립한다. 1) $$\int f(x)e^xdx = (f(x) - f'(x) + f''(x) - \cdots)e^x$$ 2) $$\int f(x)e^{-x}dx = -(f(x) + f'(x) + f''(x) + \cdots)e^{-x}$$ 증명은 (이전 포스팅)..

[수학] 도표적분법을 이용한 빠른 부분적분 안녕하세요 수학올인입니다. 이번 포스팅에서는 도표적분법을 이용한 부분적분을 빠르게 계산하는 방법에 대해 다룰 텐데요. 도표적분법이라는 이름을 다들 어디서 한 번씩은 들어보셨을 것 같습니다. 도표라 함은 우리가 부분적분을 할 때 미분할 함수, 적분할 함수를 표로 만들어서 그려놓는것을 말합니다. 그럼 도표적분법은 우리가 만든 표를 이용해서 적분을 계산하는 것을 말하겠죠? 표는 구체적으로 아래처럼 생겼습니다. 가장 왼쪽 열에는 부호를 플러스부터 교대로 적어 내려 가며, 그 오른쪽엔 미분할 함수를 한 칸 씩 내려갈 때마다 한 번씩 미분하여 적습니다. 그 오른쪽엔 적분할 함수를 한 칸씩 내려갈 때마다 한 번씩 적분하여 적습니다. 그런 뒤 같은 색깔끼리 묶어 더해서 써주면..

[수학] 다항함수와 로그함수의 곱의 빠른 부분적분 안녕하세요 수학올인입니다. 이번 포스팅에서는 제목과 같이 다항함수와 로그함수가 곱해진 경우에 한정된 빠른 부분적분 계산법에 대해 다뤄보려고 합니다. 우선 본론을 시작하기 전에 아래의 세 가지를 알고 있음을 전제합니다. 만약 모르셨더라도, 지금 이 글을 읽으시며 한 번 확인해보세요. 첫 번째 : 로그함수의 부정적분 $$\int \ln x dx = x\ln x - x$$ 첫 번째로, 위 식처럼 로그함수의 부정적분을 계산할 수 있어야 합니다. 그런데 이건 뭐 다들 아실 거라 생각하긴 합니다. 만약 몰랐더라도 위 식의 결과만 알고 있으면 됩니다. 두 번째 : 치환적분 치환적분의 계산 방법에 대해 알고 있어야 합니다. 만약 모르신다면 치환적분에 대해 먼저 학습해 ..

[수학] 연속함수는 두 극값 사이에 다른 극값이 존재함을 증명 안녕하세요 수학올인입니다. 이번 포스팅에서는 연속함수의 성질 중 하나인 두 극대 사이에 무조건 극소가 되는 지점이 존재한다 or 두 극소 사이에 무조건 극대가 되는 지점이 존재한다 에 대해 다뤄보려고 합니다. 즉, 어떤 연속함수 $f(x)$든 간에 극대 2개 또는 극소 2개를 연달아 가질 순 없다는 얘기죠. 우선 직관적으로 우리가 아는 함수들을 생각해보거나, 직접 그림을 그려봐도 두 극대 사이엔 무조건 극소가 존재합니다. 반대도 마찬가지구요. 그런데 그림으로 보면 당연한 것 같지만, 수식으로 풀어서 증명하려면 어떻게 해야 할까요? 원래 당연하다고 생각되는것도 글로 풀어서 쓰려면 막히기 마련입니다. 우선 미분가능하다는 조건이 없으니 미분을 쓸 ..

[수학] 미분가능하지만 도함수가 불연속인 함수 안녕하세요 수학올인입니다. 이번 포스팅에서는 미분가능하지만 불연속인 도함수를 가지는 함수에 대해 다뤄보겠습니다. 우선 이번 포스팅은 (이전 포스팅)에서 이어지는 게시글입니다. 이전 포스팅에서 연속함수 $f(x)$의 도함수의 극한이 존재하면 이는 미분계수와 같음을 증명했습니다. 한편, 글을 마무리하며 도함수의 극한이 존재한다는 조건이 없다면 어떻게 될지에 대해 이번 포스팅에서 다룬다고 했었죠. 이번에도 결론을 먼저 말하면, 도함수의 극한값 (무한대 포함)이 꼭 미분계수와 같을 필요는 없습니다. 즉, 만약 극한값이 존재한다면 그 값은 미분계수와 항상 같지만 도함수의 극한이 발산한다고 무조건 미분계수의 값이 존재하지 않고 그렇지는 않습니다. 반례는 아래와 같습니다..

[수학] 도함수의 극한이 존재하면 그것은 미분계수와 같다 안녕하세요 수학올인입니다. 이번 포스팅에서는 제목과 같이 도함수의 극한과 미분계수의 관계에 대해 다룰 텐데요. 보통 참고서나 문제집 등에서 '미분계수'를 구하는 문제를 '도함수의 극한'을 구하는 것으로 대신하여 풀이하곤 하는데요. 이 과정에서 의구심이 든 적은 없으신가요? 과연 도함수의 극한과 미분계수는 같을까요?? 제목을 보셔서 아시겠지만, 연속함수 $f(x)$의 도함수인 $f'(x)$의 $x=a$로의 극한이 존재하면 이는 $f'(a)$의 값과 정확히 같습니다. 따라서 우리가 도함수 $f'(x)$를 알고 있는 상황이라면 극한값을 통해 (도함수가 연속이라면 함숫값을 통해) 바로 미분계수를 구할 수 있습니다. 그런데 이는 풀이에 자연스럽게 사용되는 ..

시컨트 세제곱 적분방법, 코시컨트 세제곱 적분방법 정리 안녕하세요 수학올인입니다. 이번 포스팅에서는 저번 포스팅에 이어 제목처럼 시컨트 세제곱의 적분방법과 코시컨트 세제곱의 적분방법에 대해 다뤄보도록 하겠습니다. 이번 포스팅 내용에선 저번 포스팅에서 다룬 시컨트의 적분과 코시컨트의 적분이 포함되어 있으니, 지난 포스팅을 보지 않으셨거나 시컨트, 코시컨트의 적분법을 모르신다면 지난 포스팅을 확인해 주세요. 2023.05.10 - [수학 (탐구)] - [수학] 시컨트 적분방법, 코시컨트 적분방법 1분 요약 [수학] 시컨트 적분방법, 코시컨트 적분방법 1분 요약 시컨트 적분방법, 코시컨트 적분방법 1분 요약 안녕하세요 수학올인입니다. 이번 포스팅에서는 제목과 같이 시컨트와 코시컨트의 적분, 그리고 더 나아가서..

시컨트 적분방법, 코시컨트 적분방법 1분 요약 안녕하세요 수학올인입니다. 이번 포스팅에서는 제목과 같이 시컨트와 코시컨트의 적분, 그리고 더 나아가서 시컨트, 코시컨트 각각의 세제곱의 적분에 대해 다뤄보겠습니다. 시컨트 적분의 경우 사실 고등학교 교과서에 연습문제정도로 간혹 나오긴 합니다. 하지만 그 과정이 복잡하며, 더 나은 방법이 있기 때문에 포스팅을 쓰게 되었습니다. 그리고 이런류의 계산이 많이 필요한 시험의 경우 시컨트 또는 코시컨트의 적분은 외워둔다면 시간 절약이 많이 되기 때문에, 암기해도 좋은 부분이고요. 그럼 먼저 교과서적 풀이를 확인해 볼까요? 시컨트 적분 - 교과서적 해법 $$\begin{align} \int \frac{1}{\sec x}dx &= \int \frac{\cos x}{\c..