[수학] 시컨트 세제곱 적분방법, 코시컨트 세제곱 적분방법 정리

시컨트 세제곱 적분방법, 코시컨트 세제곱 적분방법 정리

안녕하세요 수학올인입니다.

 

이번 포스팅에서는 저번 포스팅에 이어 제목처럼 시컨트 세제곱의 적분방법과

코시컨트 세제곱의 적분방법에 대해 다뤄보도록 하겠습니다.

 

이번 포스팅 내용에선 저번 포스팅에서 다룬 시컨트의 적분과

코시컨트의 적분이 포함되어 있으니, 지난 포스팅을 보지 않으셨거나

시컨트, 코시컨트의 적분법을 모르신다면 지난 포스팅을 확인해 주세요.

2023.05.10 - [수학 (탐구)] - [수학] 시컨트 적분방법, 코시컨트 적분방법 1분 요약

[수학] 시컨트 적분방법, 코시컨트 적분방법 1분 요약

 

 

 

시컨트 세제곱의 적분

$$\begin{align}\int \sec^3 xdx &= \int \sec x \times \sec^2 x dx \\ &= \sec x\tan x - \int \sec x\tan^2 x dx \\ &= \sec x\tan x - \int \sec x(\sec^2 x - 1)dx \\ &= \sec x\tan x - \int \sec^3 xdx + \int \sec xdx \\ \end{align}$$ $$\begin{align} \therefore \int \sec^3 xdx &= \frac{\sec x\tan x}{2} + \frac{1}{2}\int\sec xdx \\ &= \frac{\sec x\tan x+\ln(\sec x+\tan x)}{2}+C\end{align}$$

주어진 시컨트 세제곱을 적당히 분리하여 부분적분을 통해 적분을 계산했습니다.

 

대부분의 사람들은 보통 적분을 직접적으로 계산을 해야 한다는 강박을 갖고 있는데요,

시컨트 세제곱의 적분 같은 경우는 직접적으로 계산하는 것이 아닌

부분적분을 통해 반복되는 형태를 확인한 뒤 이를 통해 부정적분을 간접적으로 구할 수 있습니다.

 

마치 $e^x \sin x$의 부정적분을 찾는 것과 비슷하죠?

직접적으로 부정적분을 찾는 것이 아닌 부분적분을 통해 반복되는 형태를 확인하고

그로부터 부정적분을 계산할 수 있습니다.

 

그럼 코시컨트 세제곱의 적분도 한번 다뤄보겠습니다.

 

 

 

코시컨트 세제곱의 적분

$$\begin{align}\int \csc^3 xdx &= \int \csc x \times \csc^2 x dx \\ &= -\csc x\cot x - \int \csc x\cot^2 x dx \\ &= -\csc x\cot x - \int \csc x(\csc^2 x - 1)dx \\ &= -\csc x\cot x - \int \csc^3 xdx + \int \csc xdx \\ \end{align}$$ $$\begin{align} \therefore \int \csc^3 xdx &= -\frac{\csc x\cot x}{2} + \frac{1}{2}\int\csc xdx \\ &= \frac{-\csc x\cot x+\ln(\csc x-\cot x)}{2}+C\end{align}$$

 

시컨트 세제곱의 적분과정을 이해하셨다면 코시컨트 세제곱의 적분과정도

그냥 시컨트가 코시컨트로 바뀌었다는 점을 제외한다면 같다는 사실을 알 수 있습니다.

 

여기까지 읽으셨다면 "아니 충분히 유도할 수 있겠는데?" 싶으실 거고 그게 맞습니다.

하지만 저는 시험은 머리로 알고 있느냐도 중요하지만

그걸 시간 내에 전부 풀어내는 것 또한 중요하다고 생각합니다.

만약 본인이 준비 중인 시험에 이런 유형의 적분문제가

직접적 또는 간접적으로 출제되는 편이라면 암기를 강력하게 추천합니다.

 

 

 

시컨트 세제곱, 코시컨트 세제곱 적분 정리

다음이 성립한다. 

$$\int \sec^3 xdx = \frac{\sec x\tan x+\ln(\sec x+\tan x)}{2}+C$$
$$\int \csc^3 xdx = \frac{-\csc x\cot x+\ln(\csc x-\cot x)}{2}+C$$

이번 포스팅은 여기까지입니다.

 

오류, 오타 또는 궁금하신 점이 있으시면 댓글로 남겨주세요~