[수학] 도함수의 극한이 존재하면 그것은 미분계수와 같음을 증명

[수학] 도함수의 극한이 존재하면 그것은 미분계수와 같다

 

안녕하세요 수학올인입니다.

 

이번 포스팅에서는 제목과 같이 도함수의 극한과 미분계수의 관계에 대해 다룰 텐데요.

보통 참고서나 문제집 등에서 '미분계수'를 구하는 문제를 '도함수의 극한'을 구하는 것으로

대신하여 풀이하곤 하는데요. 이 과정에서 의구심이 든 적은 없으신가요?

과연 도함수의 극한과 미분계수는 같을까요??

 

제목을 보셔서 아시겠지만, 연속함수 $f(x)$의 도함수인 $f'(x)$의 $x=a$로의 극한이 존재하면

이는 $f'(a)$의 값과 정확히 같습니다. 따라서 우리가 도함수 $f'(x)$를 알고 있는 상황이라면

극한값을 통해 (도함수가 연속이라면 함숫값을 통해) 바로 미분계수를 구할 수 있습니다.

 

그런데 이는 풀이에 자연스럽게 사용되는 반면 이에 대한 증명은 잘 다루지 않습니다.

그래서 이번 포스팅에서 이에 대해 다뤄보고자 이 주제를 선택했고요.

그럼 증명을 다뤄보겠습니다.

 

 

 

정리
연속함수 $f(x)$와 실수 $a$에 대하여 만약 극한값

$$\lim_{x\to\ a} f'(x) = L$$
이 존재하면, 

$$\lim_{x\to\ a} f'(x) = f'(a)$$
이다.

 

 

 

도함수의 극한이 존재하면 미분계수와 같다 - 증명

극한값

$$\lim_{x\to a} f'(x)=L$$

이 존재하므로, 함수 $f(x)$는 $x=a$ 근방에서 미분가능하다.

 

따라서 함수 $f(x)$는 평균값 정리의 전제를 만족시키는 구간이 존재하며, 평균값 정리를 이용하면

$$\frac {f(b)-f(a)}{b-a}=f'(c)$$

인 실수 $c\in(a, b)$가 적어도 하나 존재한다. 이제 $b \to a$이면 $c \to a$이므로

$$f'(a)=\lim_{b\to a}\frac {f(b)-f(a)}{b-a}=\lim_{c\to a} f'(c)$$

이다. 증명 끝.

 

 

 

사실 위 증명의 경우 고등학교 과정에서는 극한의 엄밀한 정의를 배우지 않기 때문에

왜 함수 $f(x)$가 갑자기 $x=a$ 근방에서 미분가능한가?라는 의구심이 들 수 있습니다.

이는 $x=a$ 근처에서 $f'(x)$와 $L$의 차이를 원하는 만큼 작게 할 수 있다는

극한의 정의에서 얻어낼 수 있는 내용 때문인데요.

 

차이를 원하는 만큼 작게 할 수 있다는 얘기는 곧 $x=a$ 근처에서

$f'(x)$의 값이 항상 존재한다는 말이고, 도함수의 값이 $x=k$에서 존재하면

원함수는 $x=k$에서 연속이고 미분가능하기 때문에

함수 $f(x)$는 $x=a$ 근처에서 미분가능하다는 사실을 얻을 수 있습니다.

 

따라서 연속함수 $f(x)$의 $x=a$에서의 도함수의 극한이 존재한다면, $f'(a)$와 같습니다.

 

자 그러면 우리가 다룬 명제에서 도함수의 극한이 존재한다는 조건이 빠진다면 어떻게 될까요?

우리가 전개한 논리는 전부 도함수의 극한이 존재한다는 전제 하에서 성립하는 논리였습니다.

그런데 도함수의 극한이 존재한다는 조건이 없어도 그 극한값은 항상 미분계수와 같을까요?

(도함수의 극한값이 수렴하든, 발산하든 항상 같을까요?)

 

이 주제에 대해서는 다음 포스팅에서 다뤄보겠습니다.

이번 포스팅에서 다룬 내용도 중요하지만 다음 포스팅에서 다룰 내용도 중요하기 때문에

포스팅을 각각 작성하는 게 나을 것 같거든요.

 

그럼 이번 포스팅은 여기서 마치겠습니다.

궁금하신 점이 있거나, 오류, 오타가 있다면 댓글을 남겨주세요~