[수학] 미분가능하지만 도함수가 불연속인 함수

[수학] 미분가능하지만 도함수가 불연속인 함수

 

안녕하세요 수학올인입니다.

 

이번 포스팅에서는 미분가능하지만 불연속인 도함수를 가지는 함수에 대해 다뤄보겠습니다.

우선 이번 포스팅은 (이전 포스팅)에서 이어지는 게시글입니다.

 

이전 포스팅에서 연속함수 $f(x)$의 도함수의 극한이 존재하면 이는 미분계수와 같음을

증명했습니다. 한편, 글을 마무리하며 도함수의 극한이 존재한다는 조건이 없다면

어떻게 될지에 대해 이번 포스팅에서 다룬다고 했었죠.

 

이번에도 결론을 먼저 말하면, 도함수의 극한값 (무한대 포함)이 꼭 미분계수와 같을 필요는 없습니다.

즉, 만약 극한값이 존재한다면 그 값은 미분계수와 항상 같지만 도함수의 극한이 발산한다고

무조건 미분계수의 값이 존재하지 않고 그렇지는 않습니다.

 

반례는 아래와 같습니다.

 

 

 

미분가능하지만 불연속인 도함수를 가지는 함수

함수 

$$f(x) = \begin{cases} x^2\sin\left(\frac{1}{x}\right) & (x\neq0) \\ 0 & (x=0) \end{cases}$$

에 대하여 다음이 성립한다.

1. $f'(0)=  0$

2. $\displaystyle\lim_{x\to 0} f'(x)$는 존재하지 않는다.

우선 1의 증명은 매우 간단한데요, 미분계수의 정의를 이용하면

$$f '(0) = \lim_{x\to 0}\frac{f(x)-f(0)}{x-0} = \lim_{x\to 0} x\sin\left(\frac{1}{x}\right) = 0$$

임을 바로 확인할 수 있습니다.

 

그럼 2의 증명은 어떨까요? 이도 간단한데, 그냥 도함수를 직접 구해보면

$$f'(x)=2x\sin\left(\frac{1}{x}\right)-\cos\left(\frac{1}{x}\right)$$

인데, $\displaystyle\cos\left(\frac{1}{x}\right)$항을 생각하면 $x \to 0$으로의 극한값이 무한히 진동하므로

극한값은 존재하지 않습니다.

 

따라서 우리가 저번 글의 마지막에서 고민하던 내용은 거짓이네요.

위 함수의 경우 도함수의 극한값은 존재하지 않지만, 미분계수는 존재하니까요.

 

그럼 우리가 이전 글과 이번 글을 통해 얻을 수 있는 내용을 정리하면 아래와 같습니다.

 

연속함수 $f(x)$에 대하여 : 

1. 만약 도함수의 극한값이 존재하면 이는 미분계수와 같다.
2. 만약 도함수의 극한값이 존재하지 않으면 미분계수의 존재성은 알 수 없다.
   이때는 직접 미분계수를 계산해봐야 하며, 도함수의 극한값이 존재하지 않는다고
   원함수가 미분가능하지 않다고 판단하면 안된다. 

 

이전 글에서도 언급했듯, 참고서나 다양한 문제집의 해설로 미분계수를 구할 때

도함수의 극한을 이용하여 계산하는 풀이가 정말 많이 실려있습니다.

 

이때, 위에서 정리한 내용과 같이 만약 도함수의 극한값이 존재하면 그 값을

미분계수로 생각해도 되지만, 만약 극한값이 존재하지 않는 경우를 만났다면

실제로 미분계수가 없는 건지 (미분불가능한 것인지) 판단을 하려면

직접 미분계수의 정의대로 계산을 해봐야 한다는 얘기죠.

 

사실 이런 유의 반례가 되는 함수는 상당히 제한적이기 때문에

뭔가 함수가 생긴 게 좀 느낌이 안 좋다! 싶을 땐 처음부터 도함수의 극한이 아닌

미분계수의 정의를 통해서 계산을 할 수도 있습니다. 짬이 찼다면요.

 

그럼 이번 포스팅은 여기서 마치도록 하겠습니다.

오류, 오타 또는 궁금하신 점에 있으시면 댓글로 남겨주세요~