[수학] 연속함수는 두 극값 사이에 다른 극값이 존재함을 증명
안녕하세요 수학올인입니다.
이번 포스팅에서는 연속함수의 성질 중 하나인
두 극대 사이에 무조건 극소가 되는 지점이 존재한다 or
두 극소 사이에 무조건 극대가 되는 지점이 존재한다
에 대해 다뤄보려고 합니다.
즉, 어떤 연속함수
우선 직관적으로 우리가 아는 함수들을 생각해보거나, 직접 그림을 그려봐도
두 극대 사이엔 무조건 극소가 존재합니다. 반대도 마찬가지구요.
그런데 그림으로 보면 당연한 것 같지만, 수식으로 풀어서 증명하려면 어떻게 해야 할까요?
원래 당연하다고 생각되는것도 글로 풀어서 쓰려면 막히기 마련입니다.
우선 미분가능하다는 조건이 없으니 미분을 쓸 수는 없구요.
극대, 극소에 관련된 내용이니 극대, 극소의 정의를 써야할 것 같은데, 상당히 애매하죠..?
이 글에서는 극대, 극소의 정의와 최대최소 정리를 사용해서 본 주제에 대한 증명을 해보겠습니다.
그럼 시작할게요.
연속함수의 극값에 대한 명제 - 증명
정리
1. 연속함수
2. 연속함수
증명은 1만 하면 충분합니다.
우선, 함수
그럼 가정으로부터
가 성립하며
가 성립합니다.
한편
무조건 존재합니다. (이 지점을
그럼
1.
2.
3.
그런데, 1과 2의 경우 바로 위에서 언급한 극대의 정의로부터 최소가 될 수는 없습니다.
따라서 남은 경우는 3 뿐이며,
극소
만약 두 극소 사이에 극대가 존재함을 증명하려면 여기서 부등호만 전부 뒤집어주면
원하는 증명이 됩니다. 직접 해보세요!
언뜻 보면 미분을 사용해야만 할 것 같은 명제인데, 미분이 없이 증명된다는 점,
그리고 평소에 잘 사용되지 않는 최대 최소 정리를 이용해서 증명된다는 점이
신기하지 않으신가요?
이번 포스팅은 여기까지입니다.
오류, 오타 또는 궁금하신 점이 있으시면 댓글로 남겨주세요~
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