[수학] 연속함수는 두 극값 사이에 극값이 존재함을 증명

[수학] 연속함수는 두 극값 사이에 다른 극값이 존재함을 증명

 

안녕하세요 수학올인입니다.

 

이번 포스팅에서는 연속함수의 성질 중 하나인 

 

두 극대 사이에 무조건 극소가 되는 지점이 존재한다 or

두 극소 사이에 무조건 극대가 되는 지점이 존재한다

 

에 대해 다뤄보려고 합니다.

즉, 어떤 연속함수 $f(x)$든 간에 극대 2개 또는 극소 2개를 연달아 가질 순 없다는 얘기죠.

 

우선 직관적으로 우리가 아는 함수들을 생각해보거나, 직접 그림을 그려봐도

두 극대 사이엔 무조건 극소가 존재합니다. 반대도 마찬가지구요.

 

그런데 그림으로 보면 당연한 것 같지만, 수식으로 풀어서 증명하려면 어떻게 해야 할까요?

원래 당연하다고 생각되는것도 글로 풀어서 쓰려면 막히기 마련입니다.

 

우선 미분가능하다는 조건이 없으니 미분을 쓸 수는 없구요. 

극대, 극소에 관련된 내용이니 극대, 극소의 정의를 써야할 것 같은데, 상당히 애매하죠..?

 

이 글에서는 극대, 극소의 정의와 최대최소 정리를 사용해서 본 주제에 대한 증명을 해보겠습니다.

그럼 시작할게요.

 

 

 

연속함수의 극값에 대한 명제 - 증명

정리
1. 연속함수 $f(x)$가 $x=a, b$에서 극대를 가지면 $f(x)$가 $x=c$에서 극소인 
   $c \in (a, b)$가 적어도 하나 존재한다.

2. 연속함수 $f(x)$가 $x=a, b$에서 극소를 가지면 $f(x)$가 $x=c$에서 극대인
   $c \in (a, b)$가 적어도 하나 존재한다.

증명은 1만 하면 충분합니다. 

 

우선, 함수 $f(x)$의 정의역을 $a\le x \le b$로 제한한 함수를 $g(x)$라고 새로 정의하겠습니다.

그럼 가정으로부터 $x=a, b$에서 함수 $f(x)$는 극대이므로, $g(x)$도 극대이고 따라서 

$x=a$ 근방에서 

$$g(x) \le g(a)$$

가 성립하며

$x=b$ 근방에서

$$g(x) \le g(b)$$

가 성립합니다.

 

한편 $g(x)$는 닫힌 구간에서 연속이므로, 최대 최소정리를 이용하면 최소가 되는 지점이

무조건 존재합니다. (이 지점을 $x=c$라고 하겠습니다.)

 

그럼 $x=c$가 위치할 수 있는 경우는 아래와 같이 3가지입니다.

 

1. $a=c$인 경우

2. $b=c$인 경우

3. $c \in (a, b)$인 경우

 

그런데, 1과 2의 경우 바로 위에서 언급한 극대의 정의로부터 최소가 될 수는 없습니다.

따라서 남은 경우는 3 뿐이며, $c \in (a, b)$인 어떤 실수 $c$에 대해 함수 $f(x)$는

$x=c$에서 최소를 가집니다. 한편 최소가 된다면 그 지점은 극소이므로, 두 극대 $x=a, b$ 사이에

극소 $x=c$가 존재하고, 증명이 완료됩니다.

 

만약 두 극소 사이에 극대가 존재함을 증명하려면 여기서 부등호만 전부 뒤집어주면

원하는 증명이 됩니다. 직접 해보세요!

 

언뜻 보면 미분을 사용해야만 할 것 같은 명제인데, 미분이 없이 증명된다는 점,

그리고 평소에 잘 사용되지 않는 최대 최소 정리를 이용해서 증명된다는 점이 

신기하지 않으신가요?

 

이번 포스팅은 여기까지입니다.

오류, 오타 또는 궁금하신 점이 있으시면 댓글로 남겨주세요~