[수학] 도표적분법을 이용한 빠른 부분적분

[수학] 도표적분법을 이용한 빠른 부분적분

안녕하세요 수학올인입니다.

 

이번 포스팅에서는 도표적분법을 이용한 부분적분을 빠르게 계산하는 방법에 대해

다룰 텐데요. 

도표적분법이라는 이름을 다들 어디서 한 번씩은 들어보셨을 것 같습니다.

 

도표라 함은 우리가 부분적분을 할 때 미분할 함수, 적분할 함수를

표로 만들어서 그려놓는것을 말합니다.

그럼 도표적분법은 우리가 만든 표를 이용해서 적분을 계산하는 것을 말하겠죠?

표는 구체적으로 아래처럼 생겼습니다.

도표적분 표

가장 왼쪽 열에는 부호를 플러스부터 교대로 적어 내려 가며, 그 오른쪽엔 미분할 함수를

한 칸 씩 내려갈 때마다 한 번씩 미분하여 적습니다.

그 오른쪽엔 적분할 함수를 한 칸씩 내려갈 때마다 한 번씩 적분하여 적습니다.

그런 뒤 같은 색깔끼리 묶어 더해서 써주면 그게 적분결과가 됩니다.

예를 들어서 위 표는

$$\int f(x)g''(x)dx = \textcolor{red}{f(x)g'(x)}-f'(x)g(x)+\textcolor{blue}{f''(x)G(x)}-\cdots$$

가 됩니다. 쉽죠??

 

보통 미분하는 함수는 언젠간 $0$이 되기 때문에 표가 길어지더라도 대부분은 유한합니다.

물론 무한한 경우도 생기기 마련인데요, 이는 도표적분법을 이용해서 계속 적다 보면

같은 형태가 반복되는 상황이 발생해서, 같은 형태끼리 묶어 계산을 해주면 됩니다.

 

이번은 내용이 쉬우니 바로 예제 하나 풀고 포스팅 마치도록 하겠습니다.

 

 

 

도표적분법 - 예제

문제
다음 적분을 계산하시오.

$$\int x^3 \sin x dx $$

 

 

 

풀이

도표를 그리면 아래와 같다.

도표적분법 - 도표

따라서 도표를 이용하면 구하는 적분은

$$\int x^3 \sin x dx = \textcolor{red}{-x^3\cos x}+3x^2 \sin x + \textcolor{blue}{6x\cos x} - \textcolor{red}{6\sin x}$$

이다.

 

 

 

이상으로 이번 포스팅을 마치겠습니다.

혹시 예제가 더 필요하시면 댓글을 남겨주시면 이후 수정하여 예제를 더 추가하도록 하겠습니다.

오류, 오타 또는 궁금하신 점이 있으시면 댓글로 남겨주세요~