[수학] 다항함수와 지수함수의 곱의 빠른 적분

[수학] 다항함수와 지수함수의 곱의 빠른 적분

안녕하세요 수학올인입니다.

이번 포스팅에서는 다항함수와 지수함수가 곱해졌을 때 빠른 적분 방법에 대해

알아보겠습니다.

 

사실 곱해진 함수가 꼭 다항함수일 필요는 없는데요.

다만, 다항함수의 경우 계속 미분을 하다 보면 언젠가는 $0$이 되기 때문에

주로 곱해진 함수가 다항함수일 때 사용하는 편입니다.

그럼 바로 시작할게요.

 

 

 

지수함수의 빠른 부분적분

원하는 만큼 미분가능한 함수 $f(x)$에 대하여 다음이 성립한다.

1)

$$\int f(x)e^xdx = (f(x) - f'(x) + f''(x) - \cdots)e^x$$

2)

$$\int f(x)e^{-x}dx = -(f(x) + f'(x) + f''(x) + \cdots)e^{-x}$$

 

 

 

증명은 (이전 포스팅)에서 다룬 빠른 부분적분을 통해 가능합니다.

1)을 증명하기 위해 도표를 그리면 아래와 같습니다.

도표 - 증명 1

같은 색끼리 묶어 더하면 되므로, 구하는 적분은

$$\int f(x)e^x dx = \textcolor {red}{f(x) e^x}-\textcolor {blue}{f'(x) e^x}+f''(x) e^x-\cdots$$

이므로 원하는 결과를 얻습니다.

 

마찬가지로 2)에 대한 도표를 그리게 되면 아래와 같습니다.

도표 - 증명 2

같은 색끼리 묶어 계산하면 구하는 적분은

$$\int f(x) e^{-x} dx = \textcolor {red}{-f(x) e^{-x}}\textcolor {blue}{-f'(x) e^{-x}}-f''(x) e^{-x}-\cdots$$

이므로 마찬가지로 원하는 결과를 얻습니다.

 

그렇다면 만약 지수함수가 $e^x, e^{-x}$가 아닌 $e^{2x}$같은 형태라면 어떻게 하면 될까요?

이 부분은 취향 차이인데 방법은 두 가지로 나뉩니다.

 

1. 적분할 때마다 상수로 나눠준 뒤 동일하게 계산한다. (도표를 이용한다.)

2. $2x=t$로 치환하여 $e^x$가 되도록 한 뒤 공식을 이용한다.

 

개인의 선호도 차이겠지만, 저는 2를 선호하긴 합니다.

 

그럼 예제문제를 풀어보고 포스팅 마치도록 하겠습니다.

 

 

 

지수함수의 빠른 부분적분 - 예제

다음을 계산하시오.

$$\int_{0}^{1} (x^2 + x)e^{-x} dx$$

 

 

 

풀이

위 공식을 이용하자. $f(x)=x^2 + x$라고 하면 주어진 적분은

$$\begin {align} \text{(Integral)} &= -((x^2 + x) + (2x + 1) + 2) e^{-x}\bigg|_{0}^{1} \\ &= -(x^2 + 3x + 3) e^{-x}\bigg|_{0}^{1} \\ &= -\frac {7}{e}+3 \end {align}$$

이다.

 

 

 

어떤 함수와 지수함수가 곱해진 경우의 적분, 특히 다항함수와 곱해진 경우는

정말 계산할 일이 아주 아주 아주 많습니다. 따라서 이 공식을 알아두시면

계산량이 확 줄어드는 경우가 상당히 많으니 알아두시는 것을 추천합니다.

 

그럼 이번 포스팅은 여기서 마치겠습니다.

오류, 오타 또는 궁금하신 점이 있으시면 댓글로 남겨주세요~