[수학] 다항함수와 로그함수의 곱의 빠른 부분적분

[수학] 다항함수와 로그함수의 곱의 빠른 부분적분

 

안녕하세요 수학올인입니다.

이번 포스팅에서는 제목과 같이 다항함수와 로그함수가 곱해진 경우에 한정된

빠른 부분적분 계산법에 대해 다뤄보려고 합니다.

 

우선 본론을 시작하기 전에 아래의 세 가지를 알고 있음을 전제합니다.

만약 모르셨더라도, 지금 이 글을 읽으시며 한 번 확인해보세요.

 

 

 

첫 번째 : 로그함수의 부정적분

$$\int \ln x dx = x\ln x - x$$

첫 번째로, 위 식처럼 로그함수의 부정적분을 계산할 수 있어야 합니다.

그런데 이건 뭐 다들 아실 거라 생각하긴 합니다.

만약 몰랐더라도 위 식의 결과만 알고 있으면 됩니다.

 

 

 

두 번째 : 치환적분

치환적분의 계산 방법에 대해 알고 있어야 합니다.

만약 모르신다면 치환적분에 대해 먼저 학습해 주세요.

 

 

 

세 번째 : 다항식의 범위

보통 다항식이라고 하면 차수가 자연수인, 즉, 자연수 $n$에 대해 $x^n$들을 다항식이라고 합니다.

다만, 이번 포스팅에 한정해서 임의의 $0$이 아닌 실수 $a$에 대해 $x^a$를 모두 다항식이라고 하겠습니다.

예를 들면 아래의 세 경우는 모두 이번 포스팅에 한정하여 다항식으로 보겠습니다. :

$$x^{-2}=\frac{1}{x^2}, \quad x^{\frac{1}{2}}=\sqrt{x},\quad x^{\frac{3}{2}} = x\sqrt{x}$$ 

 

 

 

이 내용들을 숙지하시고, 아래 내용을 봐주시기 바랍니다.

 

 

 

로그함수와 다항함수의 곱의 빠른 부분적분

로그함수와 다항함수가 곱해진 꼴의 빠른 부분적분의 아이디어는 바로

로그의 성질과 치환적분입니다.

 

예를 들어서 아래와 같은 적분 문제

$$\int x\ln xdx$$

가 있다고 해보죠. 일반적인 경우라면 $x$를 적분하고, $\ln x$를 미분하는 부분적분을 통해

구하는 적분을 계산할 것입니다. 그런데 이는 너무 느리고 계산이 복잡합니다.

 

그래서 생각을 해볼 수 있는 것이, 만약 로그 안의 식이 $x$가 아니라 $x^2$이라면

$x^2 = t$라는 치환적분을 통해 저 문제를 다시

$$\int \ln t dt \quad (x^2 = t)$$

라는 문제로 바꿀 수 있고, 이 적분의 결과는 우리가 위에서 이미 다루었죠.

 

따라서 이번 포스팅의 핵심 아이디어는 다항함수와 로그함수가 곱해진 형태의 부분적분을

로그함수만의 적분문제로 바꾸는 것입니다. (치환적분을 통해서요!)

 

그럼 다시 위의 예제로 돌아와서, $4$를 곱하고, 다시 $4$로 나눠 줄 겁니다. 

이러면 원래 식에 $1$을 곱한 것이니 식에 변화는 없죠. 정확히는 $4=2\times 2$를 곱하는 겁니다.

짝을 맞춰서 곱해보면 아래와 같습니다.

$$\begin{align} \int x\ln x dx &= \textcolor{red}{\frac{1}{2}}\times\textcolor{blue}{\frac{1}{2}}\int (\textcolor{blue}{2}x)\ln(\textcolor{red}{x^2}) dx \end{align}$$

빨간색 $2$는 로그의 성질을 통해 지수로 올린 것이고, 전체 식의 변화는 없음을 알 수 있습니다.

이제 $x^2 = t$로 치환하여 주어진 식을 계산하면

$$\begin{align} \int x\ln x dx &= \textcolor{red}{\frac{1}{2}}\times\textcolor{blue}{\frac{1}{2}}\int (\textcolor{blue}{2}x)\ln(\textcolor{red}{x^2}) dx \\ &= \frac{1}{4}\int \ln t dt\quad (x^2 = t) \\ &= \frac{1}{4}(t\ln t - t) \\ &= \frac{1}{4}(2x^{2} \ln x - x^2)\end{align}$$

와 같이 계산됩니다.

 

어떤가요? 평상시라면 부분적분을 일일이 계산해야 했지만 치환적분이 가능하도록

로그의 성질을 이용하여 식의 형태를 조작해 주면 바로 계산이 됩니다.

이는 앞에 붙어있는 식이 복잡해질수록 더 효과적입니다.

 

핵심은, 적당한 상수를 곱하고 나누어 로그 내부를 미분했을 때 바깥에 곱해진 다항식이 나오도록 (치환적분)

적당한 상수를 곱하고, 나눠주는 것입니다.

 

그럼 예제를 3문제 정도만 풀어보고 글 마치겠습니다.

 

 

 

로그함수와 다항함수의 곱의 빠른 적분 - 예제 1

문제
다음 적분값을 계산하시오.

$$\int_{1}^{e} \sqrt{x}\ln x dx$$

 

 

 

풀이

로그함수와 다항함수의 곱의 빠른 적분을 이용하기 위해 $\displaystyle\frac{3}{2}\times\frac{3}{2}$를 곱하고 나누면

주어진 적분은

$$\begin{align} \int_{1}^{e} \sqrt{x}\ln x dx &= \frac{4}{9}\int_{1}^{e}\frac{3}{2}\sqrt{x}\ln x^{\frac{3}{2}} dx \\ &= \frac{4}{9}\left(x^{\frac{3}{2}} \ln x^{\frac{3}{2}} - x^{\frac{3}{2}}\right)\bigg|_{1}^{e} \\ &= \frac{4}{9}+\frac{2e\sqrt{e}}{9} \end{align}$$

이다.

 

 

 

로그함수와 다항함수의 곱의 빠른 적분 - 예제 2

문제
다음 적분값을 계산하시오.

$$\int_{1}^{e} \frac{\ln x}{x^2} dx$$

 

 

 

풀이

로그함수와 다항함수의 곱의 빠른 적분을 이용하기 위해 $(-1)\times (-1)$을 곱하고 나누면

주어진 적분은

$$\begin{align} \int_{1}^{e} \frac{\ln x}{x^2}dx &= \int_{1}^{e} \left(-\frac{1}{x^2}\right) \ln \frac{1}{x} dx \\ &= \left(\frac{1}{x}\ln\frac{1}{x}-\frac{1}{x}\right)\bigg|_{1}^{e} \\ &= 1 - \frac{2}{e} \end{align}$$

이다.

 

 

 

로그함수와 다항함수의 곱의 빠른 적분 - 예제 3

문제
다음 적분을 계산하시오.

$$\int_{0}^{1} x^{3}\ln x dx$$

 

 

 

풀이

로그함수와 다항함수의 곱의 빠른 적분을 이용하기 위해 $4 \times 4$를 곱하고 나누면

주어진 적분은

$$\begin{align} \int_{0}^{1} x^{3}\ln x dx &= \frac{1}{16}\int_{0}^{1} 4x^3 \ln x^{4} dx \\ &= \frac{1}{16} (x^4 \ln x^4 - x^4)\bigg|_{0}^{1} \\ &= -\frac{1}{16} \end{align}$$

이다.

 

 

 

가장 처음에 설명하며 푼 문제의 경우는 식이 간단한 편이라 부분적분을 그냥 해도 빠르겠는데??

라는 생각이 들 수 있습니다. 하지만 앞의 식이 점점 복잡해질수록 

로그함수와 다항함수의 곱의 빠른 부분적분이 훨씬 더 계산이 빠릅니다.

 

계산이 빠른 것도 분명한 장점이지만 또 다른 장점은 계산 실수가 많이 줄어듭니다.

만약 실제로 부분적분을 이용해서 쌩 계산을 한다면 계산량 자체가 많기 때문에 계산실수를 할 확률이

높지만, 빠른 부분적분을 이용하면 상수를 곱하고 나눈 뒤, 그냥 바로 공식을 통해 계산이 끝나기 때문에

계산량 자체가 적어 실수를 할 확률이 낮습니다.

 

마치기 전에 다시 한번 리마인드 하면 적당한 상수를 곱하고 나눈 뒤 로그의 성질을 이용하여

로그 내부의 식을 미분했을 때 바깥에 곱해진 다항식이 되도록 (따라서 치환적분을 통해 $\ln x$의 적분이 되도록)

만드는 것이 핵심입니다.

 

그럼 이번 포스팅은 여기서 마치겠습니다.

오류, 오타 또는 궁금하신 점이 있으시면 댓글로 남겨주세요~