[수학] 무리수의 무리수 제곱은 항상 무리수인가?

[수학] 무리수의 무리수 제곱은 항상 무리수인가?

안녕하세요 수학올인입니다.

이번 포스팅에서는 무리수의 무리수 제곱이 항상 무리수가 되는지에 대해 다뤄보겠습니다.

 

우선 직관적으로 생각하기에 (펜을 들고 해보진 않았지만) 무리수끼리 연산을 하니

뭔가 결과도 당연히 무리수라고 생각이 되긴 합니다.

그런데 과연 어떤 경우를 상정하더라도 무리수가 될까요?

 

무리수가 되는지 말고 더 원론적인 이야기를 해볼게요.

우리가 무리수의 무리수 제곱이 무리수인지, 유리수인지 따질 순 있을까요??

 

교과서에서 $\sqrt {2}$가 무리수임을 보이는 증명 과정을 보통 한 번씩은 보셨을 겁니다.

이 과정 자체도 생각보다 되게 길고 복잡하죠.

이 증명과 비슷하게 무리수의 무리수 제곱이 무리수인지 유리수인지 따질 수 있을까요?

 

결론만 말하면 따지기 굉장히 어려울 겁니다. 

그럼 우리는 무리수의 무리수 제곱이 무리수인지 유리수인지 어떻게 확인해야 할까요?

 

조금 말장난 같지만, 이를 확인하지 않고도 우리가 궁금했던 내용을 해결할 수 있는 방법이 있습니다.

그럼 이제 그 과정에 대해 다뤄보겠습니다. 그리고 과정을 다루기 이전에 결론부터 말하자면

 

무리수의 무리수 제곱을 하더라도 유리수가 되는 경우가 있다.

 

가 우리가 궁금해하던 내용에 대한 답입니다.

그럼 이를 증명해 보도록 할게요.

 

 

 

무리수의 무리수 제곱이 유리수가 되는 경우 - 증명

먼저 실수 

 

$$x=\sqrt{2}^\sqrt{2}$$

 

에 대해 실수 $x^\sqrt{2}$를 생각해 보겠습니다. 직접 계산하면 지수법칙으로부터

 

$$x^\sqrt{2} = \sqrt{2}^{\sqrt{2} \times \sqrt{2}} = 2$$

 

가 됩니다. 자 그러면 여기서 생각을 해볼게요.

 

 

1) $x$가 무리수인 경우

 

$x^\sqrt {2}$가 우리가 찾는 경우가 됩니다.

무리수의 무리수 제곱 ($x$의 $\sqrt{2}$ 제곱)을 했는데 유리수 $2$가 나왔으니까요.

 

 

2) $x$가 유리수인 경우

 

$x$가 우리가 찾는 경우가 됩니다.

마찬가지로 무리수의 무리수 제곱 ($\sqrt{2}$의 $\sqrt{2}$ 제곱)인데, 이것이 유리수라고 했으니까요.

(실제로 유리수인지 무리수인지는 이 글에서 다룬 내용만으로 알 수는 없습니다.

다만 우리는 $x$가 유리수라고 가정했으므로, 우리가 찾는 경우가 됩니다.)

 

 

어떤가요? 우리는 $\sqrt{2}^\sqrt{2}$가 유리수인지, 무리수인지 확인조차 하지 않았습니다.

하지만 경우를 나누어 따져보았더니, 무리수의 무리수 제곱이 유리수가 되는 경우가 존재함을 확인했습니다.

 

그럼 이번 포스팅은 여기서 마치겠습니다.

오류, 오타 또는 궁금하신 점이 있으시면 댓글로 남겨주세요~