[수학] 야매로 1/x의 부정적분이 로그함수임을 보이기

[수학] 야매로 1/x의 부정적분이 로그함수임을 보이기

 

안녕하세요 수학올인입니다.

이번 포스팅에서는 뭔가에 대해 다룬다기보단 단순히 기록을 목적으로 합니다.

 

최근에 재미있는 게시글을 봤는데, $x^n$의 적분은 $n\neq -1$인 경우에만

일반화가 되어있습니다. 만약 $n= -1$이라면 부정적분이 로그함수가 되니까요.

 

그런데, 약간의 트릭 (적분상수를 임의로 조정하기)을 통해서

저 공식으로부터

$$\displaystyle \int \frac{1}{x}dx = \ln x$$

임을 유도하는것이 꽤 신기하더라고요. 아래는 유도과정입니다.

 

 

 

야매로 1/x의 부정적분이 로그함수임을 보이기

먼저, 양수 $a$에 대해 적분

$$\int \frac{1}{x^{a+1}}dx$$

를 생각하자. 그러면 $a\to 0$이라면 우리가 원하는 경우가 된다.

 

한편 우리가 이미 알고 있는 적분공식을 이용하면

$$\int \frac{1}{x^{a+1}}dx=-\frac{x^{-a}}{a}+C$$

이다. 이제 적분상수는 임의의 실수라는 점을 이용해서

$$C=C(a)=\frac{1}{a}+C'$$

이라고 두자 ($C'$는 임의의 실수)

 

그러면 

$$\int \frac{1}{x^{a+1}}dx=\frac{x^{-a} - 1}{-a}+C'$$

이고, 양변에 $a\to 0$인 극한을 취하면

$$\int \frac{1}{x}dx = \ln x + C'$$

이므로 원하는 결과를 얻는다.

 

 

 

어떤가요? 신기하지 않나요?

적분상수를 원하는 대로 설정하면 계산이 간단해지는 문제가 종종 있긴 합니다.

다만 적분상수를 원하는대로 잡아서 이렇게 활용을 하는 경우는 처음 봐서

저는 굉장히 신기했습니다.

 

물론 우변의 극한값이 $\ln x$로 수렴함을 보이기 위해서는 이미

지수함수 내지는 로그함수의 미분에 대해 알고 있어야 하기 때문에

정말 교육과정을 초월한 접근방법이거나 그렇지는 않습니다.

 

이번 포스팅은 메모 겸 간략하게 써서 내용이 평소보다 짧네요.

그럼 이번 포스팅은 여기서 마치겠습니다.