[수학] 특수한 행렬의 고유치 공식과 그 증명

[수학] 특수한 행렬의 고유치 공식과 그 증명

안녕하세요 수학올인입니다.

이번 포스팅에서는 행렬 중 특수한 행렬의 고유치들을 구해볼 텐데요.

시작하기 전에, (이전 포스팅)의 내용을 알고 있다는 전제로 내용이 전개되니

혹시 읽지 않으셨다면 먼저 읽고 오시면 이해에 도움이 될 겁니다.

 

먼저 다뤄볼 행렬은 주대각선은 전부 $a$, 나머지 성분은 전부 $b$인 행렬 즉,

$$A=\left[\begin{matrix} a & b & \cdots &b & b \\ b & a & & b & b \\ \vdots & & \ddots & & \vdots \\ b & b & & a & b \\ b & b & \cdots & b & a \end{matrix}\right]$$ 

의 고유치를 구해보겠습니다. 이전 포스팅의 내용을 이용하기 위해 우리는

행렬 $A$를 1행렬과 단위행렬의 합으로 분해할 건데요. 직접 분해를 해보면

$$A=b\textbf{1}_n - (b-a)I$$

로 쓸 수 있습니다.

 

그런데, 우리는 1행렬의 고유치가 $$\lambda = \underbrace{0, 0, \cdots, 0}_{n-1 \text{개}}, n$$

임을 알고 있으므로 $b\textbf{1}_n$의 고유치는

$$\lambda = \underbrace{0, 0, \cdots, 0}_{n-1 \text{개}}, bn$$

이 됩니다. 한편 $(b-a)I$의 고유치는

$$\lambda = b-a, b-a, \cdots, b-a$$

이므로, 우리가 구하는 행렬 $A$의 고유치는 각각의 고유치를 뺀

$$\lambda = \underbrace{a-b, a-b, \cdots, a-b}_{n-1 \text{개}}, a+(n-1)b$$

가 됩니다.

 

 

 

정리 1 - 특수한 행렬의 고유치

행렬 $A$가 주대각선이 전부 $a$, 나머지 성분은 전부 $b$인 행렬이라고 하자.
즉, 

$$A=\left[\begin{matrix} a & b & \cdots &b & b \\ b & a & & b & b \\ \vdots & & \ddots & & \vdots \\ b & b & & a & b \\ b & b & \cdots & b & a \end{matrix}\right]$$
이라 하자. 그러면 행렬 $A$의 고유치는

$$\lambda = \underbrace{a-b, a-b, \cdots, a-b}_{n-1 \text{개}}, a+(n-1)b$$
이다.

이를 이용한 예제문제를 하나 풀어보겠습니다.

 

 

 

예제
다음 행렬의 고유치를 구하시오.

$$A = \left[\begin{matrix} 3 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 3 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 3 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 3 \end{matrix}\right]$$

 

 

 

풀이

정리 1로부터 구하는 고유치는 

$$\lambda = 3+3\times1, 3-1, 3-1, 3-1$$

즉, 

$$\lambda = 6, 2, 2 ,2 $$

이다.

 

 

 

이번에는 또 다른 형태의 특수한 행렬의 고유치를 구해볼 건데요.

바로 아래와 같은 형태의 행렬입니다.

$$A=\left[\begin{matrix} P & Q \\ Q & P \end{matrix}\right]$$

여기서 $P, Q$는 크기가 같은 행렬입니다.

즉, $A$를 블록행렬로 위와 같이 표현가능한 경우의 고유치를 구해보겠습니다.

 

우선 블록행렬의 행렬식에 대해 알고 있어야 하는데요. 이는 이번 포스팅의

주된 주제는 아니므로 소개만 하고 증명은 하지 않겠습니다.

내용은 간단한데요. 행렬 $A$가 위처럼 블록행렬로 표현될 때

$$\det(A) = \det(P+Q)\det(P-Q)$$

라는 겁니다.

 

갑자기 이걸 왜 소개하냐면 고유치의 정의와 이를 통해 행렬 $A$의 고유치를

아주 쉽게 구할 수 있기 때문입니다. 고유치의 정의로부터 행렬 $A$의 고유치는

$$\det(A-\lambda I) = 0$$

을 만족시키는 $\lambda$가 고유치가 됩니다.

 

근데 이걸 블록행렬의 형태로 다시 써보면

$$A-\lambda I = \left[\begin{matrix} P-\lambda I & Q \\ Q & P-\lambda I \end{matrix}\right]$$

가 됩니다. 무언가 보이지 않나요?? 양변에 $\det$을 취하면

$$\det(A-\lambda I)=\det(P+Q-\lambda I)\det(P-Q-\lambda I)$$

가 됩니다. 

 

이렇게 썼을 때 우리가 알 수 있는 사실은 행렬 $A$의 고유치는

 

행렬 $P+Q$의 고유치

행렬 $P-Q$의 고유치

 

를 구해서 합치면 된다는 것입니다. (중복을 포함)

이를 정리하면 아래와 같습니다.

 

 

 

정리 2 - 특수한 행렬의 고유치

행렬 $A$가 크기가 같은 두 행렬 $P, Q$에 대하여

$$A=\left[\begin{matrix} P & Q \\ Q & P \end{matrix}\right]$$
로 쓸 수 있다고 하자. 그러면 다음이 성립한다.

$$A\text{의 고유치} = (P+Q\text{의 고유치}) \cup (P-Q\text{의 고유치})$$
(단, 중복을 허용한다.)

마찬가지로 이를 이용한 예제문제를 하나 풀어보겠습니다.

 

 

 

예제
다음 행렬의 고유치를 구하시오.

$$A = \left[\begin{matrix} 3 & 1 & 2 & 1 \\ 1 & 3 & 1 & 3 \\ 2 & 1 & 3 & 1 \\ 1 & 2 & 1 & 3 \end{matrix}\right]$$

 

 

 

풀이

두 행렬 $P, Q$를

$$P=\left[\begin{matrix} 3 & 1 \\ 1 & 3 \end{matrix}\right]$$

$$Q=\left[\begin{matrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{matrix}\right]$$

라고 하자. 그러면 행렬 $A$는

$$A=\left[\begin{matrix} P & Q \\ Q & P \end{matrix}\right]$$

로 쓸 수 있다. 정리2를 이용하기 위해 $P+Q, P-Q$와 그 고유치를 구하면

$$P+Q=\left[\begin{matrix} 5 & 2 \\ 2 & 5 \end{matrix}\right] \quad \Longrightarrow \quad \lambda = 7, 3$$

$$P-Q=\left[\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix}\right] \quad \Longrightarrow \quad \lambda = 1, 1$$

이다. 따라서 구하는 행렬 $A$의 고유치는

$$\lambda = 1, 1, 3, 7$$

이다.

 

 

 

보통 행렬의 크기가 매우 커지게 된다면 고유치를 구하는 난이도 또한

급격하게 상승하게 됩니다.

 

하지만 행렬의 크기가 커지더라도, 행렬의 형태가 특수해서 위에서 다룬

정리 1 또는 정리 2를 사용할 수 있는 상태라면 이를 통해 고유치를 아주 쉽게

구할 수 있게 됩니다. 

 

보통 크기가 큰 행렬의 고유치를 구하라는 문제는 특수한 상황이 많기 때문에

위 정리를 알아두신다면 요긴하게 사용할 수 있을 것입니다.

 

그럼 이번 포스팅은 여기서 마치겠습니다.

오류, 오타 또는 궁금하신 점이 있으시면 댓글로 남겨주세요~