[수학] 역함수 적분에 대한 항등식

[수학] 역함수 적분에 대한 항등식

안녕하세요 수학올인입니다.

이번 포스팅에서는 역함수에 대한 정적분값을 쉽게 구할 수 있도록 도와주는

항등식에 대해서 다뤄보겠습니다.

 

보통 적분 단원의 문제를 풀다 보면 역함수의 정적분값을 구하는 경우가 많이 생기는데요.

이 항등식을 적절히 이용한다면 그런 문제에서 아주 많은 도움이 될 수 있을 것입니다.

 

 

 

정리

닫힌구간 $[a, b]$에서 증가 또는 감소하는 연속함수 $f(x)$에 대하여 다음이 성립한다.

$$\int_a^b f(x)dx + \int_{f(a)}^{f(b)} f^{-1}(x)dx = bf(b)-af(a)$$

 

 

 

증명

다음 그림을 생각해 보자.

등식의 좌변은 두 적분의 합(부호 있는 넓이)가 되며,

등식의 우변은 큰 정사각형의 넓이에서 작은 정사각형의 넓이를 뺀 값(부호 있는 넓이)이 되며 이 둘은 같다.

(감소하는 경우도 비슷하게 보일 수 있다.)

 

만약 미분가능하다는 조건이 있다면 치환적분을 통해 보일 수 있는 등식이지만,

미분가능하다는 조건이 없다면 리만적분의 정의를 이용하여 보여야 한다. 

(이 글에서는 보다 직관적인 그림을 이용하여 설명한다.)

 

 

 

이를 활용할 수 있는 문제는 어떤 것이 있는지 알아보겠습니다.

 

 

 

역함수 적분 항등식 문제

예제1

함수 $f(x)=xe^x\quad (0\leq x \leq 1)$의 역함수를 $g(x)$라 할 때, 정적분

$$\int_0^e g(x)dx$$
의 값은?

 

 

 

풀이

위에서 다룬 항등식에서 

$$\int_0^1 f(x)dx + \int_0^e g(x)dx = e$$

이다. 즉, 구하는 적분값은 $e-1$이다.

 

 

 

역함수 적분 항등식 문제

예제2

함수 $f(x)=x^3 + x - 1$의 역함수를 $g(x)$라 할 때, 정적분

$$\int_1^9 g(x)dx$$
의 값은?

 

 

 

풀이

위에서 다룬 항등식에서

$$\int_1^2 f(x)dx + \int_1^9 g(x)dx = 2f(2) - f(1) = 17$$

이다. 즉, 구하는 적분값은 $\frac{51}{4}$이다.

 

 

 

간단하게 예제 문제 두 개를 풀어봤는데요. 상당히 간단하게 계산이 됨을 알 수 있습니다.

계산 위주의 시험인 내신이나 편입 같은 경우 잘 사용하면 많은 시간을 절약할 수 있으니

적용할 수 있는 상황이 나온다면 적용하는 연습을 하는 것을 추천드립니다.

 

그럼 이번 포스팅은 여기서 마치겠습니다.

오류, 오타 또는 궁금하신 점이 있으시면 댓글로 남겨주세요~