[수학] 모든 성분이 1인 행렬의 고유벡터

[수학] 모든 성분이 1인 행렬의 고유벡터

안녕하세요 수학올인입니다.

이번 포스팅에서는 모든 성분이 1인 행렬의 고유벡터를 구해보겠습니다.

 

사실 이전에 모든 성분이 1인 행렬의 고유치를 구하는 과정을 정리한 글을 작성했습니다.

궁금하신 분은 (이 글)을 읽어주시고, 이번 포스팅은 더 나아가서 고유벡터까지 구해보겠습니다.

 

저번 포스팅에서 처럼, 모든 성분이 1로만 채워진 $n\times n$행렬을 $\textbf{1}_n$이라고 쓰고

1행렬 (Matrix of One)이라고 부르겠습니다.

 

그럼 지난 포스팅의 결과에서 $n \times n$크기의 1행렬 $\textbf{1}_n$의 고유치는

$$\lambda = \underbrace{0, 0, \cdots, 0}_{n-1 \text{개}}, n$$

임을 확인했습니다. 

 

이로부터 우리는 $\lambda = n$에 대응하는 고유벡터가 $1$개가 있고,

$\lambda = 0$에 대응하는 고유벡터가 $n-1$개 있음을 알 수 있습니다.

 

$\lambda = n$에 대응하는 고유벡터는 쉽게 구할 수 있는데요, 각각의 행의 모든 원소의 합이 $n$으로

같음을 직관적으로 알 수 있습니다. 이 말은

 

$$x=\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ \vdots \\ 1 \end{pmatrix}\in \mathbb{R}^n$$

이  $\lambda = n$에 대응하는 고유벡터라는 뜻입니다.

 

이제 $\lambda = 0$에 대응하는 $n-1$개의 일차독립인 고유벡터만 찾으면 됩니다.

이 고유벡터들을 찾기 위해서 고유벡터의 정의를 떠올려볼게요.

 

$n \times n$ 크기의 행렬 $A$와 영벡터가 아닌 벡터 $v$와 실수 $\lambda$에 대해

$$Av=\lambda v$$
가 성립한다고 하자. 그러면 벡터 $v$는 고유치 $\lambda$에 대응하는 고유벡터이다.

이 정의를 그대로 이용하겠습니다. $\lambda = 0$을 대입하면 우리가 찾는 고유벡터는

 

$$Av=0$$

 

을 만족하는 영이 아닌 벡터 $v$가 됩니다. 그럼 

 

$$v=\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{pmatrix}$$

 

라고 해볼까요? 이 벡터 $v$를 직접 행렬 $A$의 오른쪽에 곱해보면 방정식

 

$$x_1 + x_2 + \cdots + x_n = 0$$

 

을 얻습니다. (이와 같은 식이 $n$개가 나오겠죠.)

그럼 우리는 위의 방정식을 만족하면서, 일차독립이 되도록 하는 벡터를 $n-1$개를 잘 선택해 주면 

그 선택한 $n-1$개의 벡터가 고유치 $\lambda = 0$에 대응하는 고유벡터가 됩니다.

 

그럼 지금까지 다룬 내용을 정리해 볼까요?

 

모든 성분이 1인 $n \times n$ 크기의 행렬을 $\textbf{1}_n$이라고 하자. 

그러면 행렬 $\textbf{1}_n$의 고유벡터는 다음과 같다.


1. $\lambda = n$에 대응되는 고유벡터 (1개) : 
$$v=\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ \vdots \\ 1\end{pmatrix}\in \mathbb{R}^n$$

2. $\lambda = 0$에 대응되는 고유벡터 ($n-1$개) : 
$$v=\left\{\left(\begin{matrix} x_1 & x_2 & \cdots & x_n \end{matrix}\right)^T \vert x_1 + x_2 + \cdots + x_n = 0 \right\}$$

정리된 내용이 잘 이해가 안 되실 수도 있으니, 예제를 두 문제 정도만 풀어보고자 합니다.

 

 

 

예제1
모든 성분이 1인 $2 \times 2$ 크기의 행렬의 고유벡터를 전부 구하시오.

 

 

 

풀이

정리한 내용을 이용하면 행렬 $\textbf{1}_2$의 고유치는 $\lambda = 0, 1$이다.

 

이때, $\lambda = 1$에 대응하는 고유벡터는 $v=\begin{pmatrix} 1 \\ 1\end{pmatrix}$이다.

 

$\lambda = 0$에 대응하는 고유벡터 $v=\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix}$는 방정식

$$x_1 + x_2 = 0$$

을 만족시켜야 한다. 우리는 $x_1=1, x_2=-1$로 택하자. 그러면 

$\lambda = 0$에 대응하는 고유벡터는 $v=\begin{pmatrix} 1 \\ -1\end{pmatrix}$이다.

 

따라서 행렬 $\textbf{1}_2$의 고유벡터는

$$\begin{pmatrix} 1 \\ -1\end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1 \\ 1\end{pmatrix}$$

이다. (순서대로 $\lambda = 0, 1$에 대응)

 

 

 

예제2
모든 성분이 1인 $3 \times 3$ 크기의 행렬의 고유벡터를 전부 구하시오.

 

 

 

풀이

정리한 내용을 이용하면 행렬 $\textbf{1}_3$의 고유치는 $\lambda = 0, 0, 1$이다.

 

이때, $\lambda = 1$에 대응하는 고유벡터는 $v=\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1\end{pmatrix}$이다.

 

$\lambda = 0$에 대응하는 고유벡터 $v=\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix}$는 방정식

$$x_1 + x_2 +  x_3= 0$$

을 만족시켜야 한다. 일차독립이 되도록 임의로 둘을 고르자.

이 글에서는

$$\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -1\end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ -1\end{pmatrix}$$

을 택했다.

 

따라서 행렬 $\textbf{1}_3$의 고유벡터는

$$\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -1\end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ -1\end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1\end{pmatrix}$$

이다. (순서대로 $\lambda = 0, 0, 1$에 대응)

 

 

 

(조금 텀이 있긴 했지만) (지난 포스팅 : 모든 성분이 1인 행렬의 고유치) 에서 

모든 성분이 1인 행렬의 고유치에 대해 다뤘다면, 이번 포스팅에서는 고유벡터까지 다뤄보았습니다.

 

모든 성분이 1인 행렬이 어디에 나오나 싶지만 편입시험 같은 일부 시험에서는

가끔 나오는 행렬이라, 아예 집중적으로 다루어보았습니다.

 

그럼 이상으로 포스팅을 마치겠습니다.

오류, 오타 또는 궁금하신 점이 있으시면 댓글로 남겨주세요~