[수학] 포물선으로 둘러싸인 부분의 무게중심

[수학] 포물선으로 둘러싸인 부분의 무게중심

 

안녕하세요 수학올인입니다.

이번 포스팅에서는 특수한 두 상황의 무게중심에 대해 다뤄보려고 합니다. 아래와 같은 두 상황

 

1. $y=x, y=x^2$으로 둘러싸인 부분의 무게중심

2. $y=x^2, x=y^2$으로 둘러싸인 부분의 무게중심

 

에 대해 정리를 해볼 텐데요. 이는 편입수학 시험에 주로 출제되는 회전체의 부피를 구하는 유형에서

시간을 매우 많이 단축시켜줍니다. 그럼 시작해 볼게요.

 

 

 

두 포물선으로 둘러싸인 부분의 무게중심

먼저 무게중심의 정의로부터 두 포물선 $y=x^2, x=y^2$으로 둘러싸인 영역을 $D$라고 하면 

$$\bar{x} = \frac{\iint_D xdA}{\iint_D dA},\quad \bar{y}=\frac{\iint_D ydA}{\iint_D dA}$$

가 성립합니다. 그런데 

$$\iint_D dA = \frac{1}{3}$$

임은 넓이를 구해보면 알 수 있고요, 분자를 계산하면

$$\iint_D xdA = \int_0^1 \int_{x^2}^\sqrt{x} xdydx = \int_0^1 x(\sqrt{x} - x^2)dx = \frac{3}{20}$$

이 성립합니다. 따라서 $\bar{x} = \frac{9}{20}$이죠. 

 

여기서 조금 유심히 관찰해 보면 영역 $D$는 $y=x$에 대칭이므로 $\bar{x} = \bar{y}$입니다. 

 

즉, 두 포물선 $y=x^2, x=y^2$으로 둘러싸인 부분의 무게중심의 좌표는

$$\left(\bar{x}, \bar{y}\right)=\left(\frac{9}{20},\frac{9}{20}\right)$$

입니다.

 

 

 

포물선과 직선으로 둘러싸인 부분의 무게중심

마찬가지로 $y=x^2, y=x$로 둘러싸인 영역을 $D$라고 하면 

$$\bar{x} = \frac{\iint_D xdA}{\iint_D dA},\quad \bar{y}=\frac{\iint_D ydA}{\iint_D dA}$$

가 성립합니다. 마찬가지로 분모를 먼저 계산해 보면

$$\iint_D dA = \frac{1}{6}$$

입니다. 이번에는 영역이 대칭성을 띄지 않으므로 분자는 각각 계산해줘야 합니다. 

직접 계산을 해보면

$$\iint_D xdA = \int_0^1 \int_{x^2}^x xdydx = \int_0^1 (x^2 - x^3)dx = \frac{1}{12}$$

이고

$$\iint_D ydA = \int_0^1\int_{x^2}^x ydydx = \frac{1}{2}\int_0^1 (x^2 - x^4)dx = \frac{1}{15}$$

입니다. 이를 전부 정리하면 포물선 $y=x^2$과 직선 $y=x$로 둘러싸인 부분의 무게중심의 좌표는

$$\left(\bar{x}, \bar{y}\right)=\left(\frac{1}{2},\frac{2}{5}\right)$$

입니다.

 

 

 

정리

1. 두 포물선 $y=x^2, x=y^2$으로 둘러싸인 영역의 무게중심의 좌표는

$$\left(\bar{x}, \bar{y}\right)=\left(\frac{9}{20},\frac{9}{20}\right)$$

이다.

2. 포물선 $y=x^2$과 직선 $y=x$로 둘러싸인 영역의 무게중심의 좌표는

$$\left(\bar{x}, \bar{y}\right)=\left(\frac{1}{2},\frac{2}{5}\right)$$

이다.

 

 

 

그럼 이를 이용한 예제문제를 한 문제 풀어보겠습니다.

 

 

무게중심 - 예제

두 포물선 $y=x^2, x=y^2$으로 둘러싸인 영역을 직선 $x=3$을 중심으로
회전시켜 얻은 회전체의 부피를 구하시오.

풀이

구하는 부피 $V$는 파푸스의 정리로부터

$$V=2\pi\times \frac{1}{3} \times \left(3-\frac{9}{20}\right)$$

이다.

 

 

 

이처럼 파푸스의 정리와 무게중심을 이용하면 순식간에 회전체의 부피를 구할 수 있습니다.

특히 편입시험에서 이 포스팅에서 다룬 두 가지 상황이 많이 나오기 때문에

편입시험을 준비하는 분이시라면 반드시 외워서 시간을 절약하심을 추천드립니다.

 

그럼 이번 포스팅은 여기서 마치겠습니다.

오류, 오타 또는 궁금하신 점이 있으시면 댓글로 남겨주세요~