[수학] 성망형 곡선의 성질 정리 (넓이, 길이, 회전체의 부피 겉넓이)

[수학] 성망형 곡선의 성질 정리 (넓이, 길이, 회전체의 부피 겉넓이)

안녕하세요 수학올인입니다.

이번 포스팅에서는 성망형 곡선에 대해서 다뤄보겠습니다.

 

이전에 사이클로이드 곡선에 대한 다양한 부분들에 대해 알아봤던 것처럼 성망형 곡선들에 대해서도

넓이나 길이, 회전체의 부피나 겉넓이, 마지막으로 기하학적 성질들을 전부 정리해서 이번 포스팅에서 다뤄보겠습니다.

 

 

 

성망형 곡선의 정의?

성망형 곡선 (아스트로이드, astroid)은 반지름의 길이가 $a$인 바깥쪽 큰 원의 안에서 

큰 원의 원주를 따라서 반지름의 길이가 $\frac{a}{4}$인 원이 구르며 이동할 때, 안쪽의 작은 원 위의

한 정점이 그리는 자취입니다. 

 

그리고 그 식을 나타내보면 아래와 같습니다.

$$x^{\frac{2}{3}} + y^{\frac{2}{3}} = a^{\frac{2}{3}}$$

물론 이렇게 직교좌표계로 나타내도 되지만, 보통은 아래와 같이 매개변수를 이용합니다.

$$r(t) = (a\cos^3 t, a\sin^3 t)$$

그리고 그림을 그려보면 성망형 곡선의 개형은 다음과 같습니다.

성망형 곡선의 개형

그래프의 개형까지 알아보았으니 이제 다양한 성질들에 대해 알아보겠습니다.

 

이때, 아래에서 다룰 모든 성질들은 성망형 곡선의 형태가

$$x^{\frac{2}{3}} + y^{\frac{2}{3}} = a^{\frac{2}{3}}$$

일 때, 즉, 매개변수로 표현했을 때 기준으로는

$$r(t) = (a\cos^3 t, a\sin^3 t)$$

일 때를 기준으로 정리하겠습니다.

 

 

 

성망형 곡선의 넓이

성망형 곡선의 넓이를 구하기 이전에 다음 그림을 확인하겠습니다.

성망형 곡선의 대칭성

잘 살펴보면, 전체 성망형 곡선의 넓이는, 노란색 부분의 넓이의 $4$배가 될 것임을 알 수 있습니다.

따라서 넓이를 구할 때 노란색 부분의 넓이를 구한 뒤 네 배를 하는 방식으로 넓이를 구해보면

구하는 성망형 곡선의 넓이 $S$는

$$\begin{align} S &= 4\int_0^a y dx \\ &= 4\int_0^a y\frac{dx}{dt} dt \\ &= 4\int_{\frac{\pi}{2}}^0 (a\sin^3 t) \times (-3a\cos^2 t\sin t)dt \\ &= 12a^3 \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^4 t\cos^2 tdt \\ &= 12a^3 \int_0^{\frac{\pi}{2}} \left(\frac{1-\cos 4t}{16} - \frac{\sin^2 2t \cos 2t }{8}\right)dt \\ &= \frac{3}{8}a^2 \pi \end{align}$$

가 됩니다.

 

 

 

성망형 곡선의 길이

길이도 마찬가지로 제 $1$사분면의 길이를 구한 뒤 네 배 하는 전략을 취해본다면

구하는 성망형 곡선의 길이 $L$은

$$\begin{align} L &= 4\int_0^{\frac{\pi}{2}} \sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^2 + \left(\frac{dy}{dt}\right)^2 }dt \\ &= 4\int_0^{\frac{\pi}{2}} 3a \sin t\cos t dt \\ &= 6a \end{align}$$

가 됩니다.

 

 

 

성망형 곡선의 회전체의 부피 (체적)

우선 성망형 곡선의 형태를 관찰해봤을 때, $x$축을 중심으로 회전한 회전체의 부피와

$y$축을 중심으로 회전한 회전체의 부피는 같을 것임을 알 수 있습니다.

따라서 회전체의 부피를 계산할 때 $x$축을 중심으로 회전하여 구하도록 하겠습니다.

 

또, $x>0$인 부분을 $x$축을 중심으로 회전시킨 회전체의 부피와

$x<0$인 부분을 $x$축을 중심으로 회전시킨 회전체의 부피는 같을 것이므로

$x>0$인 부분을 $x$축을 중심으로 회전시킨 회전체의 부피를 두 배 하겠습니다.

 

그러면 구하는 성망형 곡선의 회전체의 부피 $V$는

$$\begin{align} V &= 2\pi\int_0^a y^2 dx \\ &= 2\pi\int_{\frac{\pi}{2}}^0 y^2 \frac{dx}{dt} dt \\ &= 6a^3 \pi \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^7 t\cos^2 t dt \\ &= 6a^3 \pi \int_0^{\frac{\pi}{2}} (1-\cos^2 t)^3 \cos^2 t \sin t dt \\ &= 6a^3 \pi \int_0^1 x^2 (1-x^2)^3 dx \quad (\cos t = x) \\ &= 6a^3 \pi \times \frac{16}{315} \\ &= \frac{32}{105}a^3 \pi \end{align}$$

가 됩니다.

 

 

 

성망형 곡선의 회전체의 겉넓이

위와 마찬가지 논리로 $x>0$인 부분을 $x$축을 중심으로 회전시킨 회전체의 겉넓이에 

두 배를 하는 전략을 취한다면 구하는 겉넓이 $S$는

$$\begin{align} S &= 2\int_0^{\frac{\pi}{2}} 2\pi y\sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^2 + \left(\frac{dy}{dt}\right)^2 }dt \\ &= 12a^2 \pi \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^4 t\cos t dt \\ &= \frac{12}{5}a^2 \pi \end{align}$$

가 됩니다.

 

 

 

성망형 곡선의 성질 정리

위 내용들을 바탕으로 성망형 곡선

$$x^{\frac{2}{3}} + y^{\frac{2}{3}} = a^{\frac{2}{3}}$$

또는 매개변수를 사용해서 나타냈을 때

$$r(t)=(a\cos^3 t, a\sin^3 t)$$

꼴의 성망형 곡선의 넓이, 길이, 회전체의 부피 및 겉넓이를 정리하면 다음과 같습니다.

성망형 곡선의 성질 정리

이상으로 이번 포스팅을 마치며, 이후 다른 곡선들에 대해서도 성질들을 정리해보는 글을

작성해보겠습니다.