[수학] 평균값 정리의 응용과 세타의 극한을 구하는 문제 (1/2)

[수학] 평균값 정리의 응용과 세타의 극한을 구하는 문제 (1/2)

안녕하세요 수학올인입니다.

이번 포스팅에서는 평균값 정리를 응용하는 문제 중 세타의 극한을 구하는 유형에 대해 다뤄보겠습니다.

 

먼저 다음과 같은 문제를 보신 적 있으신가요?

예제

함수 $f(x) = x^3$에 대하여 $\theta (0<\theta<1)$가

$$f(a+h)=f(a)+hf'(a+\theta h)$$
를 만족시킬 때, $\displaystyle\lim_{h\to 0+}\theta$의 값은? (단, $a>0, h>0$)

 

이런 유형의 문제는 문제집을 풀다 보면 한 번쯤 만날 수 있는 문제입니다.

보통은 주어진 함수 $f(x)$에 전부 대입한 뒤 식을 $\theta$에 대해 정리하여

직접 극한값을 구하는 경우가 많은데요.

 

사실 이 유형의 문제는 정답이 정해져있다는 사실을 아시나요?

그럼 단도직입적으로 정리된 내용을 먼저 살펴보겠습니다.

정리

이계도함수가 연속인 함수 $f(x)$와 $\theta (0<\theta < 1)$가

$$f(a+h)=f(a)+hf'(a+\theta h)$$
를 만족시킨다고 하자. 만약 $f''(a) \neq 0$이라면 $\displaystyle\lim_{h\to 0+}\theta=\frac{1}{2}$이다.

만약 $f''(a) = 0$인 경우라면, 극한값은 $f(x)$에 따라 다르므로 직접 계산해봐야 한다.
(단, $f''(a)$는 함수 $f(x)$를 두 번 미분한 뒤 $x=a$를 대입한 값이고, $a>0, h>0$이다.)

 

원래대로라면 우리는 항상 $f(x)$에 대입하여 식을 정리한 뒤 극한값을 계산했는데

위 정리를 알고있다면 두 번 미분하여 $f''(a)$가 $0$인지 아닌지만 체크한 뒤

답으로 $\frac{1}{2}$를 고르거나, 원래 해왔던 것처럼 직접 극한값을 계산하면 됩니다.

 

여기까지만 들으면 불필요한 과정이 하나 더 추가된 것 같지만, 거의 대부분의 문제는

$f''(a)$의 값이 $0$이 아니도록 하는 함수 $f(x)$가 주어집니다.

 

왜냐하면 $f''(a)$의 값이 $0$이라면 식을 $\theta$에 대해 직접 풀어야 하는데

다항함수나 유리함수같은 함수를 벗어난다면 우리가 $\theta$에 대해 식을 푸는 것이

사실상 불가능한 함수들이 대부분이기 때문에, 그렇지 않도록 제한하는 것이죠.

따라서 정말 99%의 경우 정답이 $\frac{1}{2}$로 제한되기 때문에 풀이시간이 엄청 절약됩니다.

 

각설하고, 위 정리의 증명과정은 다음과 같습니다.

증명

전제에서 $f''(x)$가 연속이므로, 로피탈의 정리를 이용하면

$$\begin{align*} \lim_{h\to 0}\frac{f(a+h)-f(a)-hf'(a)}{h^2} &= \lim_{h\to 0}\frac{f'(a+h)-f'(a)}{2h} \\ &= \frac{f''(a)}{2} \end{align*}$$
가 성립한다. 이제 위에서 구한 극한값을 다르게 계산해보자.

문제에서 주어진 등식을 이용하여 극한값을 계산해보면

$$\begin{align*} \lim_{h\to 0}\frac{f(a+h)-f(a)-hf'(a)}{h^2} &= \lim_{h\to 0}\frac{hf'(a+\theta h)-hf'(a)}{h^2} \\ &= \lim_{h\to 0}\frac{f'(a+\theta h)-f'(a)}{h} \\ &= \lim_{h\to 0}\frac{f'(a+\theta h)-f'(a)}{\theta h}\times \theta \\ &= f''(a) \times \lim_{h\to 0}\theta \end{align*}$$
인데, 이 둘의 극한값이 같아야 한다. 즉, 

$$\frac{f''(a)}{2} = f''(a)\times \lim_{h\to 0}\theta$$
가 성립해야 하므로, 양변을 $f''(a)$로 나누면 원하는 결과인

$$\lim_{h\to 0}\theta = \frac{1}{2}$$
를 얻는다.

 

증명은 위와 같고, 결국 우리가 기억할 건 $f''(a)$의 값에 따라 답을 $\frac{1}{2}$로 고르는지,

아니면 직접 계산을 해야 하는지 이 둘이 바뀐다는 사실뿐입니다.

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그럼 예제를 풀어보고 글을 마칠 텐데요.

예제는 총 5문제로, $f''(a)$가 $0$인 문제 3개, $0$이 아닌 문제 $2$개를 다루겠습니다.

 

또, 문제를 풀 때 $f''(a)$의 값이 $0$인 경우든 $0$이 아닌 경우든

전부 위 정리를 사용하지 않고 세타에 대해 식을 풀어 직접 극한값을 구하겠습니다.

이렇게 풀이하면 $f''(a)$가 $0$이 아닌 경우 위 정리가 맞아떨어짐을 보일 수 있겠죠.

 

 

 

유형 1 - $f''(a)$가 $0$이 아닌 경우

문제 1

함수 $f(x) = x^2$에 대하여 $\theta (0<\theta<1)$가

$$f(a+h)=f(a)+hf'(a+\theta h)$$
를 만족시킬 때, $\displaystyle\lim_{h\to 0}\theta$의 값은? (단, $a>0$)

 

 

 

풀이

$f(a)$를 우변으로 이항한 뒤 전부 대입하여 계산하면

$$2ah+h^2=2h(a+\theta h)$$

에서 식을 정리하면

$$\theta = \frac{1}{2}$$

이므로 구하는 극한값은 $\frac{1}{2}$이다. 

 

한편 $f''(a) = 2 \neq 0$이므로, 위에서 정리한 내용의 결과와 일치한다.

 

 

 

문제 2

함수 $f(x) = x^3$에 대하여 $\theta (0<\theta<1)$가

$$f(a+h)=f(a)+hf'(a+\theta h)$$
를 만족시킬 때, $\displaystyle\lim_{h\to 0}\theta$의 값은? (단, $a>0, h>0$)

 

 

 

풀이

마찬가지로 직접 대입한 뒤 식을 $\theta$에 대해 정리하면

$$\theta = \frac{1}{h}\left(\sqrt{a^2 + ah + \frac{h^2}{3}} - a\right)$$

임을 얻고 유리화를 통해 $\theta \to \frac{1}{2}$임을 얻는다.

 

한편 마찬가지로 $a>0$이라면 $f''(a) = 6a \neq 0$이므로, 위에서 정리한 내용의 결과와 일치한다.

 

 

 

문제 3

함수 $f(x) = \sqrt{x}$에 대하여 $\theta (0<\theta<1)$가

$$f(a+h)=f(a)+hf'(a+\theta h)$$
를 만족시킬 때, $\displaystyle\lim_{h\to 0}\theta$의 값은? (단, $a>0, h>0$)

 

 

 

풀이

마찬가지로 직접 대입한 뒤 식을 $\theta$에 대해 정리하면

$$\theta = \frac{1}{4} - \frac{a-\sqrt{a^2 + ah}}{4h}$$

임을 얻고 직접 계산을 통해 $\theta \to \frac{1}{2}$임을 얻는다. 

 

이 경우 또한 $a>0$이라면 $f''(a) = -\frac{1}{4a\sqrt{a}} \neq 0$이므로 위의 정리의 내용과 일치한다.

 

 

 

유형 2 - $f''(a)$가 $0$인 경우

문제 1

함수 $f(x) = x^3$에 대하여 $\theta (0<\theta<1)$가

$$f(0+h)=f(0)+hf'(0+\theta h)$$
를 만족시킬 때, $\displaystyle\lim_{h\to 0}\theta$의 값은? (단, $h>0$)

 

 

 

풀이

대입하여 식을 $\theta$에 대해 정리하면

$$h^3 = 3\theta^2 h^3\quad \Longrightarrow \quad \theta = \frac{1}{\sqrt{3}}$$

에서 $\theta \to \frac{1}{\sqrt{3}}$이다.

 

이 문제는 유형 1의 문제 2번에서 $a>0$을 $a=0$으로 바꾼 문제인데

함수 $f(x)=x^3$에 대하여 $f''(0) = 0$이므로 정리에서 요약한 대로 $\theta$의 극한이 $\frac{1}{2}$이 아니다.

 

 

 

문제 2

함수 $f(x) = \sin x$에 대하여 $\theta (0<\theta<1)$가

$$f(0+h)=f(0)+hf'(0+\theta h)$$
를 만족시킬 때, $\displaystyle\lim_{h\to 0}\theta$의 값은? (단, $h>0$)

 

 

 

풀이

대입하여 식을 정리하면

$$\frac{\sin h}{h} = \cos(\theta h)$$

이다. 한편 좌변의 테일러전개는

$$ \frac{\sin h}{h} \approx 1 - \frac{h^2}{6}$$

이고, 우변의 테일러전개는

$$ \cos(\theta h) \approx 1 - \frac{(\theta h)^2}{2}$$

인데, 이를 같다고 놓고 풀면

$$ \frac{h^2}{6}  = \frac{(\theta h)^2}{2} \quad \Longrightarrow\quad \theta \approx \frac{1}{\sqrt{3}}$$

이다. 따라서 $\theta \to \frac{1}{\sqrt{3}}$이다.

 

이 문제도 마찬가지로 함수 $f(x)=\sin x$와 $a=0$에 대한 문제인데

$f''(0) = 0$이므로 정리의 내용대로 극한값이 $\frac{1}{2}$가 아님을 알 수 있다.

 

(노파심에 말하자면 우연히 두 문제의 답이 $\frac{1}{\sqrt{3}}$으로 같은 것이지, 항상 $\frac{1}{\sqrt{3}}$인 것은 아니다.)

 

 

 

그럼 이상으로 포스팅을 마치겠습니다.

다음 포스팅에서는 이 결과를 더욱 확장해서 차수가 높은 함수들에 대해 이를 일반화해보겠습니다.

오류, 오타 또는 궁금하신 점이 있으시면 댓글로 남겨주세요~