[수학] 심프슨 공식을 이용하여 다항함수의 적분값 빠르게 구하기

 

 

안녕하세요 수학올인입니다. 

이번 포스팅에서는 제목과 같이 심프슨 공식을 이용하여

다항함수의 적분값을 빠르게 구하는 방법을 알아보겠습니다.

 

 

 

심프슨 공식이란?

들어가기 전에, 심프슨 공식이 뭔지부터 알아야 얘기가 될 것입니다.

심프슨 공식

닫힌 구간 $[a, b]$에서 함수 $f(x)$의 적분값인

$$\int_a^b f(x)dx$$
은 다음과 같이 근사할 수 있다.

$$\int_a^b f(x)dx \approx \frac{b-a}{6}\left(f(a) + 4f\left(\frac{a+b}{2}\right)+f(b)\right)$$
이때, 원래의 적분값과 근삿값의 오차는 $a<c<b$인 어떤 실수 $c$에 대하여

$$\text{(Error)} = -\frac{1}{90}\times \frac{(b-a)^5}{2^5} f^{(4)}(c)$$
이다.

위에서 볼 수 있는 것처럼, 심프슨 공식은 적분값을 근사하는 공식이지 계산하는 공식은 아닙니다.

 

다만 그 오차가 $f(x)$를 네 번 미분한 값에 비례하기 때문에

$f(x)$가 삼차 이하의 다항함수인 경우 오차가 $0$이 되게 되고

따라서 적분값을 위의 공식을 통해 계산할 수 있게 됩니다.

 

따라서 단순히 적분값을 계산하라는 문제나, 넓이를 계산하라는 문제의 경우

유용하게 쓰일 수 있으며, 특히 삼차 이하의 다항함수를 $a$부터 $b$까지 적분을 할 때

다음 세 개의 함숫값

$$f(a), \quad f\left(\frac{a+b}{2}\right), \quad f(b)$$

중 한 개 이상이 $0$이라면, 공식을 이용할 때 계산이 아주 쉬워지게 됩니다.

 

그럼 몇 가지 예제를 풀어보겠습니다.

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문제 1

함수

$$f(x) = x^3 + x^2 + 2x - 4$$
에 대하여 적분

$$\int_{-1}^1 f(x)dx$$
의 값은?

 

 

 

풀이

$a=-1, b=1$인 상황이므로

$$\begin{align} \int_{-1}^1 f(x)dx &= \frac{1}{3}(f(-1)+4f(0)+f(1)) \\ &= -\frac{22}{3}\end{align}$$

이다.

 

 

 

문제 2

함수 

$$f(x) = x^3 - 2x - 4$$
의 그래프와 $x$축, $y$축으로 둘러싸인 부분의 넓이는?

 

 

 

풀이

함수 $f(x)$의 극댓값은 $0$보다 작고 $f(2)=0$이므로 둘러싸인 부분의 넓이 $S$는

$$S = -\int_0^2 f(x)dx$$

와 같다. 

 

이제 심프슨 공식을 이용하면

$$\begin{align} \int_0^2 f(x)dx &= \frac{1}{3}(f(0) + 4f(1) + f(2)) \\ &= -8\end{align}$$

이므로 

$$S = 8$$

이다.

 

 

 

그럼 이상으로 글을 마치겠습니다.

오류, 오타 또는 궁금하신 점이 있으시면 댓글로 남겨주세요~