[수학] 원뿔면의 겉넓이 (표면적) 공식 정리

[수학] 원뿔면의 겉넓이 (표면적) 공식 정리

안녕하세요 수학올인입니다.

이번 포스팅에서는 원뿔면의 겉넓이(표면적)에 대해서 다뤄보겠습니다.

 

가장 먼저 원뿔면이 무엇인지 알아야겠죠? 원뿔면은 다음과 같은 이변수함수

$$z=f(x,y)=\sqrt{x^2 + y^2}$$

와 같은 모양을 평행이동 또는 대칭이동하여 얻은 곡면을 말합니다.

 

그럼 이번 포스팅에서 말하고자 하는 바를 단도직입적으로 정리해보면 아래와 같습니다.

원뿔면의 겉넓이 공식

$xy$평면 위의 영역 $D$ 위에서 원뿔면 
$$z=\sqrt{x^2+y^2}$$
의 겉넓이 $S$는
$$S=\sqrt{2}\times\text{Area}(D)$$
이다.

(단, $\text{Area}(D)$는 영역 $D$의 넓이이다.)

 

증명 과정은 아래와 같습니다.

원뿔면의 겉넓이 공식 - 증명

구하는 겉넓이를 $S$라 하면 곡면의 넓이를 구하는 공식으로부터
$$\begin{align} S &= \iint_D \sqrt{1+(z_x)^2 + (z_y)^2}dA \\ &= \iint_D \sqrt{1+\left(\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}\right)^2 + \left(\frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}}\right)^2}dA \\ &= \iint_D \sqrt{2}dA \\ &= \sqrt{2}\text{Area}(D) \end{align}$$
이므로 원하는 결과를 얻는다.

 

사실 과정 자체는 곡면의 넓이를 구하는 공식에 대입하면 바로 얻을 수 있습니다.

다만 제가 이 사실을 정리하는 이유는 편입시험과 같은 시간이 부족한 일부 시험에서는 

이를 전부 유도하는것이 시간적으로 힘들 수 있어서, 아예 공식화를 해두는 것이죠.

 

추가로, 곡면의 넓이가 아닌 면적분을 계산하는 과정에서도 원뿔면이 등장한다면

$$dS = \sqrt{2}dA$$

로 바로 변환하여 계산할 수 있을 것입니다.

 

그럼 이를 이용하여 예제문항을 두 문제 풀어보고 글을 마치겠습니다.

 

 

 

예제1
영역 $D : (x-1)^2 + (y-2)^2 \leq 4$위에 놓인 곡면
$$z=\sqrt{x^2 + y^2}$$
의 표면적을 구하시오.

 

 

 

풀이

영역 $D$는 반지름의 길이가 $2$인 원이므로 영역 $D$의 넓이는 $4\pi$이다.

따라서 공식을 이용하면 구하는 표면적은 $\sqrt{2}\times 4\pi$이다.

 

 

 

예제2
$xy$평면 위의 단순폐곡선 $l$로 둘러싸인 영역을 $D$라 하자.
영역 $D$ 위에서 곡면
$$z=\sqrt{x^2 + y^2}$$
의 표면적이 $8\sqrt{2}$일 때, 영역 $D$의 넓이는?

 

 

 

풀이
구하는 곡면의 표면적이 주어져 있으므로, 공식으로부터

$$8\sqrt{2}=\sqrt{2}\times\text{Area}(D)$$

이고, 이를 풀면 구하는 영역의 넓이는 $8$이다.

 

 

 

그럼 이상으로 포스팅을 마치겠습니다.

오류, 오타 또는 궁금하신 점이 있으시면 댓글로 남겨주세요~