[수학] 이상적분의 특수한 형태 Frullani integral

[수학] 이상적분의 특수한 형태 Frullani integral

안녕하세요 수학올인입니다. 이번 포스팅에서는 공식으로 쉽게 계산될 수 있는 이상적분의 한 형태인

Frullani integral에 대해 다뤄보겠습니다.

 

한국어로는 프룰라니 적분이라고 할까요..? 사실 한국어로 말하는 것을 본 적은 없어서, 이 포스팅에서는

영어 그대로 Frullani integral이라고 부르겠습니다.

 

먼저, Frullani integral의 형태에 대해 알아봐야 할텐데, 아래와 같은 형태를 Frullani integral이라 합니다.

 

 

 

Frullani integral

구간 $[0, \infty)$에서 연속이고, $(0, \infty)$에서 미분가능한 함수 $f(x)$가

$$\lim_{x\to\infty} f(x) = f(\infty)$$
를 만족시키면, 두 양수 $a, b$에 대하여

$$\int_0^\infty \frac{f(ax)-f(bx)}{x}dx = (f(\infty)-f(0))(\ln a - \ln b)$$
이다.

내용은 위와 같습니다. 그러면 증명을 한번 다뤄보겠습니다.

 

 

 

Frullani integral - 증명

먼저 미적분학의 기본정리를 떠올리면

$$\begin{align} f(ax)-f(bx) &= f(xt)\big|_{t=b}^{t=a} \\ \int_b^a xf'(xt)dt \end{align}$$
로 바꿔서 쓸 수 있다. 이를 원래의 식에 적용한 뒤 이중적분의 순서변경을 이용하면

$$\begin{align} \int_0^\infty \frac{f(ax)-f(bx)}{x} &= \int_0^\infty \int_b^a f'(xt)dtdx \\
&= \int_b^a \int_0^\infty f'(xt)dxdt \\
&= \int_b^a \frac{f(\infty)-f(0)}{t}dt \\
&= (f(\infty) - f(0))(\ln a - \ln b) \end{align}$$
이다.

결과의 로그부분을 $ln\frac{a}{b}$로 묶어 쓰지 않은 이유는 형태와 결과의 생김새를 비슷하게 만들어

기억하기 쉽게 하기 위해서입니다.

형태에서 $f(ax)-f(bx)$가 보이므로 결과도 $\ln a-\ln b$로 적어주면 조금이라도 외우기 쉬워지겠죠?

 

그럼 이 Frullani integral을 이용하여 풀 수 있는 문제들을 몇 개 다뤄보겠습니다.

 

 

 

Frullani integral - 예제1

다음 적분값을 계산하시오.

$$\int_0^\infty \frac{e^{-x} - e^{-3x}}{x}dx$$

 

 

 

풀이

$f(x)=e^{-x}$라고 하고 주어진 적분을 다시 쓰면 Frullani integral의 형태이므로

$$\begin{align} \int_0^\infty \frac{e^{-x} - e^{-3x}}{x}dx &= \int_0^\infty \frac{f(x)-f(3x)}{x}dx \\ &= (0-1)(\ln 1-\ln 3) \\ &= \ln 3 \end{align}$$

이다.

 

 

 

Frullani integral - 예제2

다음 적분값을 계산하시오.

$$\int_0^\infty \frac{\tan^{-1}x - \tan^{-1}(2x)}{x}dx$$

 

 

 

풀이

$f(x)=\tan^{-1}x$라고 하고 주어진 적분을 다시 쓰면 Frullani integral의 형태이므로

$$\begin{align} \int_0^\infty \frac{\tan^{-1}x - \tan^{-1}(2x)}{x}dx &= \int_0^\infty \frac{f(x) - f(2x)}{x} dx \\ &= \left(\frac{\pi}{2}\-0\right)(\ln 1-\ln 2) \\ &= -\frac{\pi}{2} \ln 2 \end{align}$$

이다.

 

 

 

Frullani integral - 예제3

다음 적분값을 계산하시오.

$$\int_0^\infty \frac{\text{csch} x - \frac{1}{x}}{x}dx $$

 

 

 

풀이

새 함수 

$$f(x)=\text{coth}\left(\frac{x}{2}\right) - \frac{2}{x}$$

를 생각하면 

$$f(x)-f(2x) = \text{csch}x - \frac{1}{x}$$

가 성립한다.

$$\lim_{x\to 0}f(x) = 0, \quad \lim_{x\to\infty} f(x) = 1$$

이므로 주어진 적분을 다시 쓰면 Frullani integral의 형태이므로

$$\begin{align} \int_0^\infty \frac{\text{csch} x - \frac{1}{x}}{x}dx &= \int_0^\infty \frac{f(x)-f(2x)}{x} dx \\ &= (1 - 0)(\ln 1 - \ln 2) \\ &= -\ln 2\end{align}$$

이다.

 

 

 

비교적 형태가 명확하게 드러나있는 예제 두 문제와, 형태가 숨겨져 있는 예제 한 문제까지 

총 세 문제를 풀어보았습니다.

 

형태를 찾을 수만 있다면 계산 시간을 아주 많이 단축시켜 주는 강력한 도구로 사용할 수 있으니

문제에서 Frullani integral의 형태를 찾았다면 바로 적용하여 풀이하시면 많은 시간이 절약될 것입니다.

 

그럼 이번 포스팅은 여기서 마치겠습니다.

오류, 오타 또는 궁금하신 점이 있으시면 댓글로 남겨주세요~