[수학] 도함수가 항상 1이 아니면 많아야 한 개의 고정점을 가짐을 증명

[수학] 도함수가 항상 1이 아니면 많아야 한 개의 고정점을 가짐을 증명

안녕하세요 수학올인입니다.

이번 포스팅에서는 미분가능한 함수 $f(x)$가 모든 실수 $x$에 대하여

$f'(x) \neq 1$이라면 함수 $f(x)$는 많아야 한 개의 고정점을 가짐을 증명하겠습니다.

 

우선 고정점이 무엇인지 알아야겠죠.

어떤 실수 $t$가 존재해서 $f(t)=t$를 만족하면 점 $(t, f(t))$는 함수 $f(x)$의 고정점입니다.

즉, 고정점은 방정식 $f(x)=x$의 실근이라고 볼 수 있습니다.

 

따라서 주어진 문제를

 

 

모든 실수 $x$에 대하여 $f'(x)\neq 1$이면 방정식

$$f(x)=x$$

의 서로 다른 실근의 개수는 많아야 1개이다.

 

 

로도 바꿀 수 있습니다. 어쨋든, 서론이 길었는데 바로 본론으로 들어가겠습니다.

 

 

 

정리

실수 전체의 집합에서 미분가능한 함수 $f(x)$가
모든 실수 $x$에 대하여 $f'(x)\neq 1$을 만족시킨다고 하자.

그러면 함수 $f(x)$의 고정점은 많아야 1개이다.

 

 

 

증명

결론을 부정하여 함수 $f(x)$가 2개 이상의 고정점을 가진다고 하자. 

그러면 $p<q$인 두 실수 $p, q$에 대하여 두 고정점

$$(p, f(p)),\quad (q, f(q))$$

를 생각할 수 있다. 이제 평균값정리로부터

$$\begin{align} \frac{f(q)-f(p)}{q-p} &= \frac{q-p}{q-p} \\ &= 1 \\ &= f'(c)\end{align}$$

인 실수 $c \in (p, q)$가 존재하는데 이는 모든 실수 $x$에 대하여

$$f'(x) \neq 1$$

임에 모순이다.

따라서 함수 $f(x)$의 고정점은 많아야 1개이다.

 

 

 

귀류법을 이용하여 주어진 명제를 증명하였습니다.

아직 블로그에서 다루진 않았지만 고정점은 다양한 상황에서 많이 이용되는 만큼

고정점과 관련된 명제도 많이 있는 것 같습니다.

 

앞으로 블로그에서 고정점에 관련된 내용이든, 고정점과 관련된 명제에 대한 내용이든

기회가 된다면 많이 다루도록 하겠으니, 많이 봐주시면 감사하겠습니다.

 

그럼 이번 포스팅은 여기서 마치겠습니다.

오류, 오타 또는 궁금하신 점이 있으시면 댓글로 남겨주세요.