[수학] 모든 성분이 1인 행렬의 고유치

[수학] 모든 성분이 1인 행렬의 고유치

안녕하세요 수학올인입니다.

이번 포스팅에서는 모든 성분이 1인 행렬의 고유치와 행렬식을 구해보겠습니다.

 

우선 행렬식의 경우 그 행렬의 모든 고유치의 곱과 같으므로

우리는 고유치에 집중해보겠습니다.

 

우선 시작하기 전에 모든 성분이 1로만 채워진 $n \times n$ 행렬을

$\textbf {1}_n$이라고 쓰고, 1행렬(Matrix of one) 이라고 부르겠습니다.

 

즉, 

$$\textbf{1}_n = \left[\begin{matrix} 1 & 1 & \cdots & 1 & 1 \\ 1 & 1 & & 1 & 1 \\ \vdots & & \ddots & & \vdots \\ 1 & 1 & & 1 & 1 \\ 1 & 1 & \cdots & 1 & 1 \end{matrix}\right]$$

입니다.

 

그럼 지금부터 1행렬의 성질을 알아보겠습니다.

먼저 직관적으로 1행렬은 대칭행렬입니다. 따라서 1행렬은 대각화 가능하며

대수적 중복도와 기하학적 중복도가 같게 됩니다. 

 

다음 특징은, 행렬식이 $0$이라는 사실인데, 이것도 자명하게 각각의 행(또는 열)이 일차독립이라

바로 눈으로 파악할 수 있죠. 여기서 우리는 1행렬이 고유치 $\lambda = 0$을 가짐을 알 수 있습니다.

 

그러면 이제 $Rank(\textbf{1}_n)$를 계산해 볼 텐데, 이 또한 $1$임을

쉽게 알 수 있습니다. 여기서 Rank-Nullity Theorem을 이용하면

$Nullity(A)=n-1$이라는 사실을 알 수 있는데, 이는 1행렬이 고유치 $\lambda = 0$을

$n-1$개 가짐을 의미합니다. 왜냐하면 1행렬은 대각화 가능하고,

따라서 대수적 중복도와 기하학적 중복도가 같으니까요.

 

그럼 우린 $n$개의 고유치 중 $n-1$개를 찾았습니다.

그럼 나머지 한 고유치는 어떻게 찾을 수 있을까요?

그건 바로 대각합을 이용하면 됩니다.

 

대각합은 모든 고유치의 합인데, 대각합을 알고 있고,

$n$개의 고유치들 중 $n-1$개의 고유치를 알고 있으므로

나머지 한 고유치도 찾을 수 있습니다.

 

구체적으로 계산해 보면

$$tr(\textbf{1}_n) = n$$

입니다. 한편 $n$번째 고유치를 $\lambda_n$이라 하면 

$$n=\lambda_n + \sum_{k=1}^{n-1} 0 $$

이므로, $\lambda_n = n$이네요.

그럼 우리는 모든 고유치를 찾았습니다. 이제 정리해 보면 아래와 같습니다.

 

 

 

모든 성분이 1인 행렬의 고유치

행렬 $\textbf{1}_n$을 모든 성분이 $1$인 $n \times n$ 크기의 행렬이라 하자.

그러면 $\textbf{1}_n$의 고유치는 아래와 같다.

$$\lambda = \underbrace{0, 0, \cdots, 0}_{n-1 \text{개}}, n$$ 

 

 

 

이를 바탕으로 예제 문제를 풀어보고 포스팅을 마치겠습니다.

 

 

 

예제
다음 행렬의 고유치를 구하시오. 

$$\left[\begin{matrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \end{matrix}\right]$$

풀이

앞서 정리한 바에 따르면 구하는 고유치는 $\lambda = 0, 0, 0, 4$이다.

 

그럼 이상으로 포스팅을 마치겠습니다.

오류, 오타 또는 궁금하신 점이 있으시면 댓글로 남겨주세요~