수학 (탐구)

[수학] 임의의 함수를 우함수와 기함수의 합으로 표현하는 방법

수학올인 2023. 5. 27. 23:59
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[수학] 임의의 함수를 우함수의 기함수의 합으로 표현하는 방법

안녕하세요 수학올인입니다. 

이번 포스팅에서는 임의의 함수 $f(x)$를 우함수와 기함수의 합으로 표현할 수 있음을 증명하고,

구체적으로 어떻게 표현되는지에 대해 다뤄보겠습니다.

 

언뜻 들으면 이게 가능하다고? 싶은 생각이 들 수도 있습니다.

왜냐하면 우함수는 $y$축에 대칭인 함수고, 기함수는 원점에 대칭인 함수인데

특정 대칭성을 가진 함수를 더했는데 아무런 대칭성이 없는 일반적인 함수가 나온다는것이

직관적으로 잘 이해가 안 될 수 있습니다.

 

하지만 (떠올리긴 어려울 수 있지만) 생각보다 쉬운 방법으로, 그리고 그 우함수와 기함수도

생각보다 간단한 형태로 나타낼 수 있습니다. 지금부터 한번 알아볼게요.

 

본론으로 들어가기 전에 다음 두 가지 정리부터 증명하겠습니다.

 

 

 

정리 1

임의의 함수 $f(x)$에 대하여 함수 

$$g(x)=\frac{f(x)+f(-x)}{2}$$
는 우함수이다.

증명은 $g(-x)$를 직접 구해보면 $g(x)=g(-x)$가 성립함을 알 수 있습니다.

 

 

 

정리 2

임의의 함수 $f(x)$에 대하여 함수

$$g(x)=\frac{f(x)-f(-x)}{2}$$
는 기함수이다.

마찬가지로 직접 $g(-x)$를 구해보면 $g(-x)=-g(x)$가 성립합니다.

 

이제 이 둘을 결합하면

$$f(x)=\frac{f(x)+f(-x)}{2}+\frac{f(x)-f(-x)}{2}$$

로 쓸 수 있고, 우리가 원하던 결과인 임의의 함수 $f(x)$를

우함수와 기함수의 합으로 표현할 수 있음을 알 수 있습니다.

 

생각보다 결과가 간단합니다...

 

이번 포스팅은 여기서 마치겠습니다.

오류, 오타 또는 궁금하신 점이 있으시다면 댓글로 남겨주세요~

 

 

 

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