[수학] 시컨트 적분방법, 코시컨트 적분방법 1분 요약

시컨트 적분방법, 코시컨트 적분방법 1분 요약

안녕하세요 수학올인입니다.

 

이번 포스팅에서는 제목과 같이 시컨트와 코시컨트의 적분, 그리고 더 나아가서

시컨트, 코시컨트 각각의 세제곱의 적분에 대해 다뤄보겠습니다.

 

시컨트 적분의 경우 사실 고등학교 교과서에 연습문제정도로 간혹 나오긴 합니다.

하지만 그 과정이 복잡하며, 더 나은 방법이 있기 때문에 포스팅을 쓰게 되었습니다.

그리고 이런류의 계산이 많이 필요한 시험의 경우 시컨트 또는 코시컨트의 적분은

외워둔다면 시간 절약이 많이 되기 때문에, 암기해도 좋은 부분이고요.

 

그럼 먼저 교과서적 풀이를 확인해 볼까요?

 

 

 

시컨트 적분 - 교과서적 해법

$$\begin{align} \int \frac{1}{\sec x}dx &= \int \frac{\cos x}{\cos^2 x}dx \\ &= \int \frac{\cos x}{1-\sin^2 x}dx \\ &= \int \frac{1}{1-t^2}dt \quad (\sin x=t) \\ &= \frac{1}{2}\ln\left(\frac{1+t}{1-t}\right) \\ &= \frac{1}{2}\ln\left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right) \end{align}$$

 

만약 교과서적 해법을 통해 시컨트를 적분한다면 위 풀이와 같습니다.

핵심은 분자 분모에 $\cos x$를 곱해준 뒤 부분분수분해와 치환적분을 이용한 것이죠.

 

그런데 이는 매번 유도해서 쓰기 번거롭기도 하고, 과정이 조금 난잡합니다. 

그래서 위 방법보다 훨씬 빠른 방법을 소개하도록 하겠습니다.

 

 

 

시컨트 적분 - 빠른 풀이

$$\begin{align} \int \sec xdx &= \int \frac{\sec x (\sec x+\tan x)}{\sec x+\tan x}dx \\ &= \int \frac{1}{t}dt \quad (\sec x+\tan x=t) \\ &= \ln t \\ &= \ln(\sec x+\tan x)\end{align}$$

 

어떤가요? 훨씬 빠르지 않나요?

위 풀이도 비슷하게 치환적분을 이용했으나 곱하는 함수가 다릅니다.

분자 분모에 $\sec x+\tan x$를 곱해주게 되면 바로 치환이 가능하며, 

위 풀이와는 다르게 부분분수분해를 이용하지 않습니다.

 

그리고 뭔가 우리가 구한 부정적분의 결과가 위의 교과서적 해법에서의 함수와

다른 함수 같다고 생각하실 수 있습니다.

하지만 이는 부정적분의 경우 상수만큼 차이가 나더라도 같기 때문이며 (적분상수)

로그의 성질을 통해 두 함수가 같다는 사실을 확인할 수 있습니다. (도전해 보세요!)

이와 매우 유사한 방법으로 코시컨트도 바로 적분이 가능한데요, 아래와 같습니다.

 

 

 

코시컨트 적분 - 빠른 풀이

$$\begin{align}\int \csc x dx &= \int \frac{\csc x(\csc x-\cot x)}{\csc x-\cot x}dx \\ &= \int \frac{1}{t}dt \quad (\csc x-\cot x= t) \\ &= \ln t \\ &= \ln(\csc x-\cot x)\end{align}$$

 

비슷한 아이디어를 통해 분자, 분모에 $\csc x - \cot x$를 곱해준 뒤

치환적분을 이용해서 적분했습니다.

 

물론 이런 방법을 통한 시컨트, 코시컨트 적분도 충분히 빠르긴 하지만

가장 좋은 방법은 아예 부정적분 자체를 외우는 것입니다.

 

따라서 아래의 내용을 암기하시는 것을 추천합니다.

 

 

 

시컨트, 코시컨트의 적분 

다음이 성립한다. 

$$\int \sec xdx = \ln(\sec x+\tan x)+C \\ \int\csc xdx = \ln(\csc x-\cot x) + C$$

이번 포스팅은 여기까지입니다.

 

다음 포스팅에서는 비슷한 주제이지만 조금 다른, 시컨트 세제곱과 코시컨트 세제곱의 적분에 대해

다뤄보도록 하겠습니다.

 

오류, 오타 또는 궁금하신 점이 있으시면 댓글로 남겨주세요~