[수학] 도함수의 극한과 원함수의 극한의 관계

도함수의 극한과 원함수의 극한의 관계

 

안녕하세요 수학올인입니다.

 

이번 포스팅에서는 도함수의 극한과 원함수의 극한은 어떤 관계를 가지는지에 대해

다뤄보려고 합니다. 내용은 크게 2개의 주제를 다룰 텐데요, 

 

1. 도함수의 극한이 0으로 수렴하면 원함수의 극한도 수렴하는지

($\displaystyle\lim_{x\to\infty}f'(x)=0$이면 $\displaystyle\lim_{x\to\infty}f(x)$도 수렴하는지)

 

2. 원함수의 극한이 수렴하면 도함수의 극한이 0으로 수렴하는지

($\displaystyle\lim_{x\to\infty}f(x)$가 수렴하면 $\displaystyle\lim_{x\to\infty}f'(x)=0$인지)

에 대해서 알아보도록 하겠습니다.

 

우리가 함수 $f(x)$의 그래프의 개형이나 행동 양상을 파악할 때 미분을 이용해서

도함수의 부호를 확인한 뒤 원함수의 그래프를 그리고, 극점을 체크하곤 합니다.

 

그럼 이런 관점이 무한대로 가는 극한끼리 비교할 때도 유효할까요?

언뜻 보면 $x$가 무한대로 갈 때 $f(x)$가 수렴한다면 그 기울기의 변화가

무한히 작아져야 하므로 $f'(x)$의 극한이 직관적으로 $0$일 것 같다는 추측을 해볼 수 있습니다.

 

반대로 $x$가 무한대로 갈 때 $f'(x)$가 $0$으로 수렴한다면

기울기의 변화가 무한히 작아진다는 뜻이니 $f(x)$또한 수렴할 것 같다는

생각을 해볼 수 있겠죠.

 

이 둘에 대해 자세히 알아보겠습니다.

 

 

 

도함수의 극한이 0으로 수렴하면 원함수의 극한은 수렴?

수학적으로 표현하면 다음과 같습니다.

실수 전체의 집합에서 미분가능한 함수 $f\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R}$에 대하여

$$\lim_{x\to\infty}f'(x)=0\quad\Longrightarrow\quad \lim_{x\to\infty} f(x)=L$$
인가?

언뜻 보면 기울기의 변화가 무한히 작아지니 $f(x)$의 변화도 어느 순간부턴 무한히 작아지고

따라서 $f(x)$ 또한 수렴할 것 같다는 생각이 듭니다.

 

하지만 이는 거짓인데요, 다음과 같은 반례가 존재합니다.

$$f(x) = \begin{cases} \ln x & (x\geq 1) \\ x-1 & (x<1) \end{cases}$$

왜냐면, 직접 도함수를 구해보면

$$f'(x) = \begin{cases} \frac{1}{x} & (x\geq 1) \\ 1 & (x<1) \end{cases}$$

이므로,

$$\lim_{x\to\infty}f'(x)=\lim_{x\to\infty}\frac{1}{x}=0$$

입니다. 하지만

$$\lim_{x\to\infty}f(x)=\lim_{x\to\infty}\ln x = \infty$$

이므로 반례가 됩니다. 그럼 반대는 어떨까요?

 

 

 

원함수의 극한이 수렴하면 도함수의 극한은 0으로 수렴?

수학적으로 표현하면 다음과 같습니다.

실수 전체의 집합에서 미분가능한 함수 $f\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R}$에 대하여

$$\lim_{x\to\infty}f(x)=L\quad\Longrightarrow\quad \lim_{x\to\infty}f'(x)=0$$
인가?

아쉽지만 이 또한 거짓입니다.

직관적으로는 원함수의 극한이 수렴한다는 말은 원함수의 변화가 점점 작아지고

따라서 그 도함수 또한 $0$으로 수렴해야 할 것 같다는 생각이 드는데요.

그렇지 않은 상황이 존재합니다. 반례는 다음과 같습니다.

$$f(x)=\frac{\sin(x^4)}{x^2+1}$$

우선 함수 $\sin(x^4)$은 유계이므로, $f(x)\to 0$인 것은 직관적으로 바로 납득이 가죠.

 

그럼 한번 도함수를 구해볼까요? 직접 미분해 보면

$$f'(x)=\frac{4(x^5+x^3)\cos(x^4)-2x\sin(x^4)}{(x^2+1)^2}$$

인데, $\cos(x^4)$가 있는 항을 관찰해 본다면 분자는 5차, 분모는 4차 식이 되므로 

도함수의 극한이 $0$이 아니죠. 따라서 원함수의 극한이 수렴한다고 도함수의 극한이 $0$이라고

말할 수 없습니다.

 

우리의 직관대로라면 원함수가 수렴할 때 원함수의 변화가 무한히 작아지므로,

따라서 도함수가 $0$으로 수렴할 것 같았습니다. 그럼 우리의 직관대로 흘러가려면

어떠한 추가적인 조건이 필요할까요?

 

그것은 바로 $\displaystyle\lim_{x\to\infty}f'(x)$가 수렴한다는 조건이 추가되면 $0$으로 수렴함을

보일 수 있습니다. 증명은 아래와 같습니다.

정리
실수 전체의 집합에서 미분가능한 함수 $f\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R}$에 대하여 두 극한

$$\lim_{x\to\infty}f(x),\quad\lim_{x\to\infty}f'(x)$$
가 모두 수렴하면

$$\lim_{x\to\infty}f'(x)=0$$
이다.



증명
결론을 부정해서

$$\lim_{x\to\infty}f'(x)=L\neq 0$$
이라 하자. 일반성을 잃지 않고 $L>0$임을 가정해도 된다.

그러면 극한의 정의로부터 어떤 실수 $X$가 존재해서 $x>X$인 모든 실수 $x$에 대하여

$$f'(x)>\frac{L}{2}$$
가 성립한다. 양변을 적분하면 부등식 

$$f(x)>\frac{L}{2}x+C\quad(x>X)$$
를 얻는데 이는 $\displaystyle\lim_{x\to\infty}f(x)$가 수렴함과 모순이다. 

따라서 $L=0$이다.

도함수의 극한이 수렴한다는 조건까지 걸려있다면 우리의 직관대로 도함수의 극한이 

$0$으로 수렴함을 알 수 있습니다. 여러 포스팅에 나눠서 직관과 반하는 예시들을 소개하고 있는데요,

직관적으로 추측하는 것은 굉장히 좋지만, 그에 따르는 엄밀한 논증 또한 중요합니다.

 

이번 포스팅은 여기까지입니다.

오류, 오타 또는 궁금하신 점이 있으시면 댓글로 남겨주세요~