[수학] 우함수는 항상 x=0에서 극값을 가질까?

우함수는 항상 x=0에서 극값을 가질까?

 

안녕하세요 수학올인입니다.

 

이번 포스팅에서는 함수 $f(x)$가 우함수라면 항상 $x=0$에서 극값을 갖는지에 대해 알아보겠습니다.

이전에도 말했듯, 이런 종류의 명제를 접했을 때 가장 먼저 할 수 있는 접근은

우리가 잘 알고 있는 함수들에 대해 성립하는지 테스트해 보는 것입니다.

우리가 생각할 수 있는 가장 만만한 함수는 당연히 다항함수입니다.

그럼 가장 만만한 이차함수에 대해서 먼저 확인해 볼까요?

 

곡선 $y=x^2$의 그래프

위 그래프는 곡선 $y=x^2$의 그래프입니다.

함수 $f(x)=x^2$이 우함수인 것은 쉽게 알 수 있고, $x=0$에서 극값(극소)을 가짐도

쉽게 알 수 있네요. 그럼 다음으론, 삼각함수는 어떨지 확인해 보겠습니다.

 

곡선 $y=\cos x$의 그래프

위 그래프는 곡선 $y=\cos x$의 그래프입니다.

마찬가지로 함수 $f(x)=\cos x$도 우함수이고 $x=0$에서 극값(극대)을 가지네요.

그럼 우리가 아는 함수들의 합성으로 나타내어진 경우는 어떨까요?

 

곡선 $y=e^{-x^2}$의 그래프

위 그래프는 곡선 $y=e^{-x^2}$의 그래프입니다.

함수 $f(x)=e^{-x^2}$는 다항함수, 삼각함수와 같이 딱 떨어지는 형태가 아닌

우리가 알고 있는 함수들의 합성으로 구성된 함수인데, 이 경우에도

우함수임과 동시에 $x=0$에서 극값(극대)을 가지네요.

 

제 블로그의 글을 많이 보신 분은 아시겠지만, 이렇게 글을 쓰는 경우는 반례가 존재해서

글을 썼었죠 항상... 반례는 아래와 같습니다.

 

 

 

반례

함수 

$$f(x) = \begin{cases} x^2\cos\left(\frac{1}{x}\right) & (x\neq0) \\ 0 & (x=0) \end{cases}$$
에 대하여 다음이 성립한다.

1. 함수 $f(x)$는 우함수이다.

2. 함수 $f(x)$는 $x=0$에서 극대도 극소도 아니다.

우선 1의 증명은 간단합니다. 두 함수 

$$x^2,\quad \cos\left(\frac{1}{x}\right)$$

는 모두 우함수이므로, 이 둘의 곱인 함수 $f(x)$도 우함수겠죠.

 

2의 증명도 쉬운 편인데요, $\displaystyle\cos\left(\frac{1}{x}\right)$이 항상 음의 값과 양의 값을 번갈아가며

무한히 진동하기 때문입니다. 이는 그래프를 통해 직관적으로 확인하면 이해가 더 쉽습니다. 

 

곡선 $y=f(x)$의 그래프

위 그래프는 곡선 $y=f(x)$의 그래프입니다.

곱해져 있는 $\displaystyle\cos\left(\frac{1}{x}\right)$때문에 $x=0$ 근처에서 $f(x)$는

부호를 계속 바꾸게 됩니다.

 

한편 $f(x)$가 $x=0$에서 극소라면, $x=0$을 포함하는 어떤 열린구간에 속하는 모든 $x$에 대하여 부등식

$$f(x)\geq f(0)=0$$

이도록 하는 어떤 열린구간이 존재해야 합니다.

하지만 $f(x)$는 음과 양을 번갈아서 가지므로 이럴 수 없죠.

극대인 경우(부등호가 반대인 경우)도 마찬가지로 성립하지 않음을 알 수 있고요.

 

직관적으로는 우함수라면 $x=0$을 기점으로 그래프가 꺾여 극대 또는 극소를 가질 것 같지만

이런 반례가 존재합니다. 어떻게 보면 직관의 위험성이라고도 말할 수 있죠.

 

이번 포스팅은 여기까지입니다.

 

오류, 오타 또는 궁금하신 점이 있으시면 댓글로 남겨주세요~