[수학] 삼각함수 적분을 월리스 공식을 통해 빠르게 계산하기 (Wallis 공식)

삼각함수 적분을 월리스 공식을 통해 빠르게 계산하기 (Wallis 공식)

 

안녕하세요 수학올인입니다.

 

우리가 문제를 풀다 보면 삼각함수의 적분값을 계산해야 하는 상황을 자주 만납니다.

물론 간단한 $\sin x$, $\cos x$정도를 적분하는 상황이라면 그냥 계산하면 되겠지만

만약 피적분함수가 $\sin^5 x$, $\sin^7x \cos^2x$이라면 어떨까요?

 

물론 치환적분이나 부분적분을 적당히 사용하면 계산가능하겠지만

이는 상당히 번거로운 작업이 될겁니다. 

이번 포스팅에서 다룰 월리스 공식은 적분 구간이 특수한 상황일 때 

적분값을 매우 빠르게 단순 계산만으로 구할 수 있도록 해주는 공식입니다.

그럼 바로 알아보도록 하겠습니다.

 

 

 

월리스 공식 (Wallis 공식)

임의의 자연수 $n$에 대하여 다음이 성립한다.

$$\int_0^\frac{\pi}{2} \sin^n xdx = \int_0^\frac{\pi}{2}\cos^n xdx = \begin{cases} \frac{n-1}{n}\times\frac{n-3}{n-2}\times\cdots\times\frac{1}{2}\times\frac{\pi}{2} & (n=2k) \\ \frac{n-1}{n}\times\frac{n-3}{n-2}\times\cdots\times\frac{2}{3} & (n=2k+1) \end{cases}\quad k\in\mathbb{N}$$

위와 같이 월리스 공식은 거듭제곱형태의 삼각함수 적분을 단순히 곱셈 몇 번을 통해

계산할 수 있도록 해주는 공식입니다.

 

물론 적분구간이 딱 맞아떨어져야 한다는 단점이 있지만, 저 구간으로 맞아떨어지는 상황이

되게 자주 나와서 알아둔다면 계산속도 차이가 엄청나게 벌어지게 됩니다.

그럼 증명을 다뤄보겠습니다.

 

 

 

월리스 공식 (Wallis 공식) - 증명

$n\geq 2$인 자연수 $n$에 대하여 수열 $a_n$을

$$a_n=\int_0^\frac{\pi}{2}\sin^n xdx$$

라 하자. 그러면 삼각함수의 성질과 부분적분을 이용하면

$$\begin{align} a_n &= \int_0^\frac{\pi}{2}\sin^{n-2}x (1- \cos^2 x)dx \\  &=\int_0^\frac{\pi}{2}\sin^{n-2}xdx - \int_0^\frac{\pi}{2}\sin^{n-2}x \cos^2 xdx  \\ &= a_{n-2}-\frac{1}{n-1}a_n \end{align} $$

임을 얻고, 식을 $a_n$에 대해 정리하면

$$a_n=\frac{n-1}{n}a_{n-2}\quad(n\geq 2)$$

임을 얻습니다.

 

이제 귀납적으로 $n$이 짝수라면

$$a_n = \frac{n-1}{n}\times\frac{n-3}{n-2}\times\cdots\times\frac{1}{2}a_0$$

인데, $a_0=\int_0^\frac{\pi}{2}1dx=\frac{\pi}{2}$이므로 

$$a_n = \frac{n-1}{n}\times\frac{n-3}{n-2}\times\cdots\times\frac{1}{2}\times\frac{\pi}{2}$$

가 성립합니다.

 

마찬가지로 귀납적으로 $n$이 홀수라면

$$a_n=\frac{n-1}{n}\times\frac{n-3}{n-2}\times\cdots\times\frac{2}{3}a_1$$

이고, $a_1=\int_0^\frac{\pi}{2}\sin xdx = 1$이므로 대입하면

$$a_n=\frac{n-1}{n}\times\frac{n-3}{n-2}\times\cdots\times\frac{2}{3}$$

가 성립합니다.

 

따라서 앞으로는 적분구간이 월리스공식을 적용가능한 구간이라면

피적분함수의 $\sin x$나 $\cos x$가 홀수제곱인지, 짝수제곱인지를 확인해서

바로 계산을 할 수 있습니다.

 

당연히 말로만 하는 것보다 직접 예제를 풀어보는 것이 이해가 빠르겠죠?

예제를 한번 풀어보도록 하겠습니다.

 

 

 

월리스 공식 (Wallis 공식) - 예제 1

문제 1
다음 적분을 계산하시오.

$$\int_0^\frac{\pi}{2}\cos^7xdx$$

 

 

 

풀이
적분구간을 확인해보면 월리스공식을 적용할 수 있다.
지수가 홀수이므로 월리스공식으로부터 구하는 적분값은

$$\int_0^\frac{\pi}{2}\cos^7 xdx = \frac{6}{7}\times\frac{4}{5}\times\frac{2}{3}=\frac{16}{35}$$
이다.

 

 

 

월리스 공식 (Wallis 공식) - 예제 2

문제 2
다음 적분을 계산하시오.

$$\int_0^\pi \sin^3 xdx$$

앞서 월리스 공식에 대해 설명할 때는 적분구간이 $\pi$까지가 아니었습니다.

그런데 예제 2번의 경우 적분구간이 $\pi$까지네요.

이런 경우는 월리스 공식을 사용할 수 없을까요?

정답은 '사용할 수 있다'입니다. 아래 풀이를 확인해 보세요.

 

 

 

풀이
함수 $y=\sin^3 x$는 $x=\frac{\pi}{2}$에 선대칭이므로 대칭성을 이용하면 

$$\int_0^\pi \sin^3 xdx = 2\int_0^\frac{\pi}{2}\sin^3 xdx = 2\times\frac{2}{3}$$
이다.

'예제 2'처럼 꼭 적분구간이 일치하지 않더라도, 대칭성 및 평행이동을 이용해서

우리가 알고 있는 구간의 형태로 바꿀 수 있다면 월리스 공식을 사용해서 적분을 계산할 수 있습니다.

 

 

 

월리스 공식 (Wallis 공식) - 예제 3

문제 3
다음 적분을 계산하시오.

$$\int_0^\frac{\pi}{2}\sin^3x\cos^2xdx$$

마찬가지로 앞서 월리스 공식에 대해 소개할 때는 피적분함수가 $\sin x$ 또는 $\cos x$만

있었는데요, 예제 3번의 경우는 둘이 곱해져 있는 상황입니다.

이런 상황에서도 마찬가지로 삼각함수의 성질을 이용하여 월리스 공식을 사용할 수 있습니다.

아래 풀이를 확인해 보죠.

 

 

 

풀이
삼각함수의 성질을 이용하면 구하는 적분은

$$\begin{align} \int_0^\frac{\pi}{2}\sin^3x\cos^2xdx &= \int_0^\frac{\pi}{2}\sin^3x (1-\sin^2 x)dx \\ &=\int_0^\frac{\pi}{2}\sin^3 xdx - \int_0^\frac{\pi}{2}\sin^5 xdx \\ &= \frac{2}{3} - \frac{4}{5}\times\frac{2}{3} \\ &=\frac{2}{15}\end{align}$$
이다.

'예제 3'처럼 꼭 피적분함수가 $\sin x$ 또는 $\cos x$만 있는 상황이 아니더라도 

우리가 알고 있는 삼각함수의 성질을 이용해서 적합한 상황으로 바꾼 뒤 월리스 공식을 사용했습니다.

 

 

 

월리스 공식 (Wallis 공식) - 예제 4

문제 4
다음 적분을 계산하시오.

$$\int_0^\frac{\pi}{4} \cos^4x dx$$

예제 4번의 경우, 피적분함수는 우리가 월리스 공식을 사용하기에 적합한 상황이지만

적분구간이 그렇지 못한 상황이네요. 이런 경우는 어떻게 하면 될까요?

마찬가지로 삼각함수의 성질을 이용해서 풀이를 진행할 수 있는데요,

아래 풀이를 확인해 보죠.

 

 

 

풀이
반각공식을 이용하면 주어진 적분은

$$\begin{align}\int_0^\frac{\pi}{4}\cos^4 xdx &= \int_0^\frac{\pi}{4}\left(\frac{1+\cos (2x)}{2}\right)^2 dx \\ &= \frac{1}{4}\int_0^\frac{\pi}{4}(1+2\cos(2x)+\cos^2(2x))dx \\ &= \frac{1}{8}\int_0^\frac{\pi}{2}(1+2\cos t+\cos^2 t)dt\quad (2x=t) \\ &= \frac{1}{8}\left(\frac{\pi}{2}+2+\frac{1}{2}\times\frac{\pi}{2}\right) \\ &=\frac{3\pi}{32}+\frac{1}{4}  \end{align}$$
이다.

적분 구간이 안 맞는 것처럼 보였지만, 반각공식을 이용한 뒤 치환적분을 통해

구간을 딱 떨어지게 맞춰준 뒤 월리스 공식을 사용할 수 있었습니다.

이처럼 월리스 공식의 형태가 바로 보이지 않더라도, 우리가 알고 있는 삼각함수의 성질이나 공식

그리고 적당한 치환적분을 통해 월리스 공식을 사용할 수 있는 형태로 만들 수 있는지를 

잘 캐치하는 것이 중요합니다. 충분한 연습을 해보시기 바랍니다.

 

이번 포스팅은 여기까지입니다.

 

오류, 오타 또는 궁금하신 점이 있으시면 댓글로 남겨주세요~