수학올인의 수학 기록

[수학] 성망형 곡선의 성질 정리 (넓이, 길이, 회전체의 부피 겉넓이) 안녕하세요 수학올인입니다. 이번 포스팅에서는 성망형 곡선에 대해서 다뤄보겠습니다. 이전에 사이클로이드 곡선에 대한 다양한 부분들에 대해 알아봤던 것처럼 성망형 곡선들에 대해서도 넓이나 길이, 회전체의 부피나 겉넓이, 마지막으로 기하학적 성질들을 전부 정리해서 이번 포스팅에서 다뤄보겠습니다. 성망형 곡선의 정의? 성망형 곡선 (아스트로이드, astroid)은 반지름의 길이가 $a$인 바깥쪽 큰 원의 안에서 큰 원의 원주를 따라서 반지름의 길이가 $\frac{a}{4}$인 원이 구르며 이동할 때, 안쪽의 작은 원 위의 한 정점이 그리는 자취입니다. 그리고 그 식을 나타내보면 아래와 같습니다. $$x^{\frac{2}{3}} + y^{\..

[수학] 사이클로이드 곡선의 성질 정리 (넓이, 길이, 회전체, 접선 등등) 안녕하세요 수학올인입니다. 이번 포스팅에서는 사이클로이드 곡선에 대해서 다뤄보겠습니다. 우리가 고등학교를 다닐 때 다항함수들의 넓이나 접선같은 성질에 대해 탐구했던 것처럼, 사이클로이드 곡선에 대해서도 많은 성질들이 있는데요. 제목과 같이 사이클로이드 곡선의 넓이나 길이, 회전체의 부피나 겉넓이, 마지막으로 기하학적 성질들을 전부 정리해서 이번 포스팅에서 다뤄보겠습니다. 사이클로이드 곡선의 정의? 사이클로이드 곡선 (파선)은 반지름의 길이가 $a$인 원을 직선 위에서 굴렸을 때, 원 위의 한 점이 그리는 자취가 나타내는 곡선을 말합니다. 그런데 아마 이 글을 읽으시는 독자분들은 위와 같은 정의에는 별로 관심이 없을 것이라 예상합..

[수학] 포물선으로 둘러싸인 부분의 무게중심 안녕하세요 수학올인입니다. 이번 포스팅에서는 특수한 두 상황의 무게중심에 대해 다뤄보려고 합니다. 아래와 같은 두 상황 1. $y=x, y=x^2$으로 둘러싸인 부분의 무게중심 2. $y=x^2, x=y^2$으로 둘러싸인 부분의 무게중심 에 대해 정리를 해볼 텐데요. 이는 편입수학 시험에 주로 출제되는 회전체의 부피를 구하는 유형에서 시간을 매우 많이 단축시켜줍니다. 그럼 시작해 볼게요. 두 포물선으로 둘러싸인 부분의 무게중심 먼저 무게중심의 정의로부터 두 포물선 $y=x^2, x=y^2$으로 둘러싸인 영역을 $D$라고 하면 $$\bar{x} = \frac{\iint_D xdA}{\iint_D dA},\quad \bar{y}=\frac{\iint_D ydA}{..

[수학] 모든 성분이 1인 행렬의 고유벡터 안녕하세요 수학올인입니다. 이번 포스팅에서는 모든 성분이 1인 행렬의 고유벡터를 구해보겠습니다. 사실 이전에 모든 성분이 1인 행렬의 고유치를 구하는 과정을 정리한 글을 작성했습니다. 궁금하신 분은 (이 글)을 읽어주시고, 이번 포스팅은 더 나아가서 고유벡터까지 구해보겠습니다. 저번 포스팅에서 처럼, 모든 성분이 1로만 채워진 $n\times n$행렬을 $\textbf{1}_n$이라고 쓰고 1행렬 (Matrix of One)이라고 부르겠습니다. 그럼 지난 포스팅의 결과에서 $n \times n$크기의 1행렬 $\textbf{1}_n$의 고유치는 $$\lambda = \underbrace{0, 0, \cdots, 0}_{n-1 \text{개}}, n$$ 임을 확인..

[수학] 이상적분의 특수한 형태 Frullani integral 안녕하세요 수학올인입니다. 이번 포스팅에서는 공식으로 쉽게 계산될 수 있는 이상적분의 한 형태인 Frullani integral에 대해 다뤄보겠습니다. 한국어로는 프룰라니 적분이라고 할까요..? 사실 한국어로 말하는 것을 본 적은 없어서, 이 포스팅에서는 영어 그대로 Frullani integral이라고 부르겠습니다. 먼저, Frullani integral의 형태에 대해 알아봐야 할텐데, 아래와 같은 형태를 Frullani integral이라 합니다. Frullani integral 구간 $[0, \infty)$에서 연속이고, $(0, \infty)$에서 미분가능한 함수 $f(x)$가 $$\lim_{x\to\infty} f(x) = f(\i..

[수학] 역함수 적분에 대한 항등식 안녕하세요 수학올인입니다. 이번 포스팅에서는 역함수에 대한 정적분값을 쉽게 구할 수 있도록 도와주는 항등식에 대해서 다뤄보겠습니다. 보통 적분 단원의 문제를 풀다 보면 역함수의 정적분값을 구하는 경우가 많이 생기는데요. 이 항등식을 적절히 이용한다면 그런 문제에서 아주 많은 도움이 될 수 있을 것입니다. 정리 닫힌구간 $[a, b]$에서 증가 또는 감소하는 연속함수 $f(x)$에 대하여 다음이 성립한다. $$\int_a^b f(x)dx + \int_{f(a)}^{f(b)} f^{-1}(x)dx = bf(b)-af(a)$$ 증명 다음 그림을 생각해 보자. 등식의 좌변은 두 적분의 합(부호 있는 넓이)가 되며, 등식의 우변은 큰 정사각형의 넓이에서 작은 정사각형의 넓이를 ..

[수학] 도함수가 항상 1이 아니면 많아야 한 개의 고정점을 가짐을 증명 안녕하세요 수학올인입니다. 이번 포스팅에서는 미분가능한 함수 $f(x)$가 모든 실수 $x$에 대하여 $f'(x) \neq 1$이라면 함수 $f(x)$는 많아야 한 개의 고정점을 가짐을 증명하겠습니다. 우선 고정점이 무엇인지 알아야겠죠. 어떤 실수 $t$가 존재해서 $f(t)=t$를 만족하면 점 $(t, f(t))$는 함수 $f(x)$의 고정점입니다. 즉, 고정점은 방정식 $f(x)=x$의 실근이라고 볼 수 있습니다. 따라서 주어진 문제를 모든 실수 $x$에 대하여 $f'(x)\neq 1$이면 방정식 $$f(x)=x$$ 의 서로 다른 실근의 개수는 많아야 1개이다. 로도 바꿀 수 있습니다. 어쨋든, 서론이 길었는데 바로 본론으로 들..

[수학] 특수한 행렬의 고유치 공식과 그 증명 안녕하세요 수학올인입니다. 이번 포스팅에서는 행렬 중 특수한 행렬의 고유치들을 구해볼 텐데요. 시작하기 전에, (이전 포스팅)의 내용을 알고 있다는 전제로 내용이 전개되니 혹시 읽지 않으셨다면 먼저 읽고 오시면 이해에 도움이 될 겁니다. 먼저 다뤄볼 행렬은 주대각선은 전부 $a$, 나머지 성분은 전부 $b$인 행렬 즉, $$A=\left[\begin{matrix} a & b & \cdots &b & b \\ b & a & & b & b \\ \vdots & & \ddots & & \vdots \\ b & b & & a & b \\ b & b & \cdots & b & a \end{matrix}\right]$$ 의 고유치를 구해보겠습니다. 이전 포스팅의 내용을..

[수학] 모든 성분이 1인 행렬의 고유치 안녕하세요 수학올인입니다. 이번 포스팅에서는 모든 성분이 1인 행렬의 고유치와 행렬식을 구해보겠습니다. 우선 행렬식의 경우 그 행렬의 모든 고유치의 곱과 같으므로 우리는 고유치에 집중해보겠습니다. 우선 시작하기 전에 모든 성분이 1로만 채워진 $n \times n$ 행렬을 $\textbf {1}_n$이라고 쓰고, 1행렬(Matrix of one) 이라고 부르겠습니다. 즉, $$\textbf{1}_n = \left[\begin{matrix} 1 & 1 & \cdots & 1 & 1 \\ 1 & 1 & & 1 & 1 \\ \vdots & & \ddots & & \vdots \\ 1 & 1 & & 1 & 1 \\ 1 & 1 & \cdots & 1 & 1 \end{mat..

[수학] 야매로 1/x의 부정적분이 로그함수임을 보이기 안녕하세요 수학올인입니다. 이번 포스팅에서는 뭔가에 대해 다룬다기보단 단순히 기록을 목적으로 합니다. 최근에 재미있는 게시글을 봤는데, $x^n$의 적분은 $n\neq -1$인 경우에만 일반화가 되어있습니다. 만약 $n= -1$이라면 부정적분이 로그함수가 되니까요. 그런데, 약간의 트릭 (적분상수를 임의로 조정하기)을 통해서 저 공식으로부터 $$\displaystyle \int \frac{1}{x}dx = \ln x$$ 임을 유도하는것이 꽤 신기하더라고요. 아래는 유도과정입니다. 야매로 1/x의 부정적분이 로그함수임을 보이기 먼저, 양수 $a$에 대해 적분 $$\int \frac{1}{x^{a+1}}dx$$ 를 생각하자. 그러면 $a\to 0$이라면..