[수학] 구의 일부분의 겉넓이 공식

[수학] 구의 일부분의 겉넓이 공식

안녕하세요 수학올인입니다.

이번 포스팅에서는 구의 일부분의 겉넓이를 구하는 공식에 대해 다뤄보겠습니다.

 

먼저 공식의 형태를 알아보고, 공식을 직접 유도해본 뒤, 예제를 풀어보도록 하겠습니다.

먼저 구의 일부분의 겉넓이 공식은 다음과 같습니다.

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구의 일부분의 겉넓이 공식
구면 $S : x^2 + y^2 + z^2 = r^2$의 $a\leq z\leq b$에 해당하는 부분의 겉넓이 $S$는

$$S = 2\pi \times r \times (b-a)$$
이다.

 

구면의 넓이를 구하는 방법은 회전곡면의 겉넓이 방식을 이용해도 되고, 면적분을 이용해도 되는데요.

이번 포스팅에서는 회전곡면의 겉넓이를 구하는 방법을 이용해서 구해보도록 하겠습니다.

 

먼저 다음과 같은 구가 있다고 해보겠습니다.

$$S : x^2 + y^2 + z^2 = r^2$$

그런 다음 해당 영역에 해당하는 구면의 겉넓이를 구한다고 해보겠습니다.

$$-r\leq a\leq z\leq b\leq r$$

(변수가 $z$가 아니더라도 적당히 회전시키면 되므로 꼭 범위가 $z$에 대한 범위일 필요는 없습니다.)

 

그러면 주어진 영역에 놓이는 구면의 겉넓이는 곡선

$$y=\sqrt{r^2-x^2} \quad (a\leq x\leq b)$$

를 $x$축을 중심으로 회전시켜 얻은 회전곡면의 겉넓이와 같습니다.

 

이제 계산해보면, 구하는 겉넓이 $S$는 

$$\begin{align*}
S &= 2\pi\int_a^b \sqrt{r^2 - x^2}\sqrt{1+\frac{x^2}{r^2 - x^2}}dx \\
&= 2\pi\int_a^b \sqrt{r^2 - x^2 + x^2}dx \\
&= 2\pi\int_a^b r \, dx \\
&= 2\pi \times r \times (b-a)
\end{align*}$$

와 같이 구해집니다.

 

여기서 알 수 있는 점은, 겉넓이는 구간의 길이 ($b-a$)에만 의존하므로, 구면에서 바깥쪽을 선택하든

중심에 가까운 쪽을 선택하든, 선택한 구간의 길이만 동일하다면 겉넓이는 일정하다는 점입니다.

 

그럼 이를 이용하여 예제를 두 문제만 풀어보겠습니다.

 

 

 

예제 1
구면 

$$S : x^2 + y^2 + z^2 = 2\quad (z\geq 1)$$
의 겉넓이를 구하시오.

 

 

 

풀이

구하는 겉넓이를 $S$라 하면, 공식으로부터

$$S = 2\pi \times \sqrt{2} \times (\sqrt{2} - 1)$$

이 구하는 겉넓이가 된다.

 

 

 

예제 2
$z \geq \sqrt{x^2 + y^2 + 1}$을 만족하는 영역에 놓인 구면

$$S : x^2 + y^2 + z^2 = 7$$
의 겉넓이를 구하시오.

 

 

 

풀이

구면과 주어진 곡면의 교선을 구하기 위해 연립할 것인데, 중요한 것은 $z$의 범위이므로

$z$에 대해 풀어보면

$$(x^2 + y^2 + 1) + z^2 = 8$$

에서 $z^2 = x^2 + y^2 + 1$임을 이용하면

$$2z^2 = 8 \quad \Longrightarrow\quad z=2$$

임을 얻는다. 따라서 구하는 구면의 넓이는 $z\geq 2$인 영역의 넓이와 같으므로

$$S = 2\pi\times \sqrt{7} \times (\sqrt{7}-2)$$

가 구하는 구면의 겉넓이가 된다.

 

 

 

그럼 이상으로 포스팅을 마치겠습니다.

오류, 오타 또는 궁금하신 점이 있으시면 댓글로 남겨주세요~