[수학] 심장형 곡선의 성질 정리 (넓이, 길이, 접선의 기울기, 회전체의 부피 등등)

[수학] 심장형 곡선의 성질 정리 (넓이, 길이, 접선의 기울기, 회전체의 부피 등등)

안녕하세요 수학올인입니다.

이번 포스팅에서는 제목과 같이 심장형 곡선의 성질들에 대해 알아보고 정리해보겠습니다.

 

 

 

심장형 곡선이란?

우선 심장형 곡선이라 하면 다음과 같은 형태의 극곡선을 말합니다.

$$r=a+b\cos\theta$$

여기서 $a, b$의 변화에 따라 다양한 형태로 개형이 변화합니다만, 이번 포스팅에서는

다음과 같은 형태의 심장형 곡선에 대해서만 다루겠습니다.

$$r=a(1+\cos\theta)\quad (a > 0)$$

그리고 이 심장형 곡선을 적당히 회전시켜서 아래의 세 심장형 곡선을 얻을 수 있습니다.

$$\begin{align} & r=a(1-\cos\theta) \\ & r=a(1+\sin\theta) \\ & r=a(1-\sin\theta) \end{align}$$

실제로 각각의 그래프를 보면 다음과 같습니다.

심장형 곡선의 개형

따라서 우리는 저러한 세 개의 심장형 곡선도 결국 $r=a(1+\cos\theta)$의 회전 또는 대칭으로

표현될 수 있음을 알았으므로, 해당 곡선들에 대한 성질은 곡선 $r=a(1+\cos\theta)$를 적당히

회전 또는 대칭시켜 유도하면 되겠습니다.

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심장형 곡선의 내부 넓이

심장형 곡선 $r=a(1+\cos\theta)$의 내부영역의 넓이를 구하는 문제가 극곡선 관련 단원에서

아주 많이 출제가 됩니다.

 

결론부터 말하면 내부의 넓이는 $\frac{3}{2}a^2 \pi$인데요. 증명은 아래와 같습니다.

구하는 넓이를 $S$라고 하면, 위의 그림을 확인해봤을 때, 윗 부분의 넓이만 구한 뒤 두 배 하면

우리가 구하는 넓이와 같아질 것이므로

$$\begin{align} S &= 2\times \frac{1}{2}\int_0^{\pi} a^2(1+\cos\theta)^2 d\theta \\ &= a^2 \int_0^{\pi} (1+2\cos\theta + \cos^2 \theta)d\theta \\ &= a^2 \left( \pi + 2\times \frac{\pi}{4}\right) \\ &= \frac{3}{2}a^2 \pi \end{align}$$

라는 결론을 얻습니다.

 

이때 회전이동과 대칭이동은 넓이를 변화시키지 않으므로, 앞서 언급한 다른 세 형태의 극곡선도

넓이는 동일합니다.

 

 

 

심장형 곡선의 길이

넓이를 알아봤으니 다음으로는 길이를 알아보겠습니다. 

심장형 곡선 $r=a(1+\cos\theta)$의 길이는 $8a$인데요, 구하는 길이를 $l$이라 하면

마찬가지로 대칭성을 고려했을 때 윗부분의 길이의 두 배가 우리가 구하는 길이가 될 것이므로

$$\begin{align} l &= 2 \times \int_0^{\pi} \sqrt{a^2(1+\cos\theta)^2 + a^2 \sin^2 \theta} d\theta \\ &= 2\int_0^{\pi} \sqrt{2}a\sqrt{1+\cos\theta}d\theta \\ &= 4a\int_0^{\pi} \left|\cos\frac{\theta}{2}\right|d\theta \\ &= 4a \times 2 \\ &= 8a \end{align}$$

가 됩니다. 

 

길이도 마찬가지로 위의 세 형태 역시 동일합니다.

 

 

 

심장형 곡선의 접선의 기울기

다음으로 알아볼 것은 심장형 곡선의 접선의 기울기인데요.

기울기는 회전이동 및 대칭이동에 따라 변하므로 아래의 내용은 전부 극곡선

$$r = a(1+\cos\theta)$$

에 대한 내용이며, 나머지 세 형태에 대해서는 이를 적당히 변형시켜 적용해야 합니다.

 

특수각들에 대해 정리한 심장형 곡선의 접선의 기울기는 다음과 같습니다.

심장형 곡선의 접선의 기울기

아래는 각각의 특수각들에 대한 기울기이고, 위는 이해를 돕기 위한 그림입니다. 

(가장 오른쪽의 기울기가 무한대인 빨간 직선이 $\theta = 0$이며, 이후 왼쪽으로 진행)

 

접선의 기울기 같은 경우 간혹 심장형 곡선에서의 접선과 관련된 문제를 만나게 되면

유용하게 사용할 수 있습니다.

 

 

 

심장형 곡선의 회전체의 부피 및 겉넓이

마지막으로 알아볼 내용은 심장형 곡선

$$r=a(1+\cos\theta)$$

를 극축 ($x$축)을 중심으로 회전시켜 얻은 회전체의 부피 및 회전곡면의 넓이(겉넓이) 입니다.

 

이 파트는 계산이 조금 길어질 것 같아서 계산 과정은 넣지 않고 결과만 제시해보면

구하는 부피 $V$와 넓이 $S$는 각각 다음과 같습니다.

$$\begin{align} V &= \frac{8}{3}a^3 \pi \\ S &= \frac{32}{5} a^2 \pi \end{align}$$

계산 과정은 극곡선을 매개변수 형태로 바꾼 뒤 직접 정의대로 계산해보면 됩니다.

(궁금하신분은 직접 유도해보세요.)

 

 

 

심장형 곡선 관련 내용 정리

이상에서 다룬 내용들을 표로 정리하면 다음과 같습니다.

심장형 곡선 관련 공식 정리

모든 시험에서 해당 내용이 유용한 것은 아니겠지만, 타임어택이 심한 시험의 경우

충분히 많은 도움이 될 것입니다.