[수학] 어떤 연속함수의 이상적분이 수렴하면 함수의 극한은 0인가?

[수학] 어떤 연속함수의 이상적분이 수렴하면 함수의 극한은 0인가?

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안녕하세요 수학올인입니다. 

이번 포스팅에서는 제목과 같이 어떤 연속함수의 이상적분이 수렴하면

피적분함수의 극한값이 $0$이 되는지, 즉, 수식으로 표현하면 연속함수 $f(x)$에 대하여

$$\int_0^{\infty} f(x)dx < \infty \quad\Longrightarrow\quad \lim_{x\to\infty} f(x) = 0$$

이 성립하는지에 대해 알아보겠습니다.

 

보통 고등학교에서 수학을 배우면서 급수에 대해 배우게 되는데, 이때 급수

$$\sum_{n=1}^{\infty} a_n$$

이 수렴하면 수열 $a_n$의 극한값은 $0$이라는 사실을 배우게 됩니다.

 

이때 주어진 무한합을 이산적인 함수(수열)에 대한 합이라고 바라본다면

이상적분은 연속적인 함수에 대한 합이라고 생각해볼 수 있으므로

이상적분에서도 마찬가지로 극한이 $0$인가? 라는 의문이 들 수 있습니다.

 

우선 결론부터 말하고 들어가면 이 명제는 거짓인데요, 이번 포스팅에서는 다양한 조건들

(음이 아닌 함수, 양숫값을 갖는 함수, 미분가능한 함수 등등)을 걸어가며

각각의 조건에 대해 어떤 반례가 존재해서 거짓이 되는지 알아보겠습니다.

 

 

 

가장 약한 조건 - $f(x)$가 연속함수인 경우

가장 약한 조건인 연속에 대한 조건만 주어진 경우입니다. 이 경우는

$$f(x) = \sin(x^2)$$

이 반례가 되는데, 사실 이 함수는 아래에서 다룰 함수들에 비해서 수렴한다는 사실을

보이는 작업이 상대적으로 복잡합니다.

 

따라서 그냥 수렴한다고 받아들이고 넘어갑니다.

(왜냐하면 어차피 아래에서 다룰 함수들도 마찬가지로 이 경우에 대해 반례가 되기 때문입니다.)

여담으로 이 경우는 수렴값도 정확하게 구할 수 있는데요,

$$\int_0^{\infty} \sin(x^2)dx =\int_0^{\infty}\cos(x^2)dx = \sqrt{\frac{\pi}{8}}$$

이 성립합니다.

 

이후 아래에서 다루는 모든 함수들은 별다른 언급이 없더라도 연속함수임을 전제합니다.

 

 

 

조금 강한 조건 - $f(x)$가 음이 아닌 값을 갖는 경우

조건이 $f(x)\geq 0$을 만족시키는 것으로 조금 더 강화됐습니다. 

조건이 강화됐으므로 위에서 제시한 반례인 

$$f(x)=\sin(x^2)$$

은 자연스레 쓸 수 없게 되었고요. 이 경우의 반례는 무엇일까요?

 

함수 $f(x)$를 다음을 전부 만족시키도록 정의해봅시다.

 

i) 임의의 자연수 $n$에 대하여 $f(n) = 1$이다.

ii) $x=n$의 좌우로 점 $(n, 1)$과 $x$축까지 직선으로 연결한다. 

이때, 좌 우의 직선이 $x$축과 만나는 두 점과 점 $(n, 1)$이 이루는 삼각형의 넓이가

$\frac{1}{2^n}$이 되도록 연결한다.

iii) 이외의 구간에서는 전부 $f(x) = 0$이다.

 

사실 말만 들어서는 잘 와닿지 않을 수 있습니다. 

"그래서 어떻게 생긴건데?" 라는 의문이 자연스럽게 들고요.

그래서 그래프를 가져와봤는데요, 다음과 같습니다.

$y=f(x)$의 그래프

그래프까지 알아봤으니 이 함수가 왜 반례가 되는지를 알아봐야겠죠.

 

일단 $x\to\infty$일 때 극한값이 $0$이 아닌것은 쉽게 눈으로 보입니다.

(중간중간 $1$이 되는 지점이 있으므로 절대 극한값이 $0$일 수 없겠죠)

 

다음으로 이상적분이 수렴하는지를 따져봐야 하는데, 위의 그래프를 살펴보면

이상적분의 값은 저 삼각형들의 넓이의 합과 같음을 알 수 있습니다.

 

그런데 각각의 삼각형은 순서대로 그 넓이가 $\frac{1}{2^n}$이 되도록 잡았으므로

$$\int_0^{\infty} f(x)dx = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2^n} = 1$$

임을 알 수 있습니다. 따라서 주어진 명제의 반례가 됩니다.

 

 

 

조금 더 강하게 - $f(x) > 0$인 경우

위에서 알아본 함수는 $f(x)=0$인 지점이 이상적분이 수렴하도록 하는데에

꽤 많은 영향을 끼침을 알 수 있는데요, 그렇다면 $f(x) > 0$이게 하면 어떨까요?

 

어려운 문제가 되는 것 같지만 쉽습니다.

$0$에서 $\infty$까지의 이상적분이 수렴하면서 $f(x)>0$인 함수를 위에서 구한 함수에

더해주면 되거든요. 

 

가장 간단하게는 위에서 구한 함수에 $e^{-x}$를 더한것이 반례가 됩니다.

 

 

 

$f(x) \geq 0$이고 미분가능한 함수라면 어떨까?

지금까지 알아본 함수들이 반례가 되는것은 알았습니다.

하지만 미분가능한 함수가 아니므로 꽤나 부자연스러운 면이 존재합니다.

 

예를 들어, 위에서 알아본 삼각형들을 조합해서 만든 함수도 

삼각형을 이루는 지점에서 전부 미분불가능하므로 우리가 평소에 다루는

'좋은 함수'들과는 조금 거리가 있어보이고요.

 

그렇다면 미분가능한 함수라면 위의 명제는 참이 될까요?

결론부터 말하면 거짓입니다. 이번에 반례를 잡는 과정은 다음과 같습니다.

 

먼저 함수 

$$g(x) = \begin{cases} 1-\cos x & (0\leq x\leq 2\pi) \\ 0 & (\text{Otherwise})\end{cases}$$

를 생각한 뒤 함수 $f(x)$를

$$f(x)=\sum_{n=0}^{\infty} g(2^n (x-2n\pi))$$

라고 하면 반례가 됩니다. 

 

이번에도 마찬가지로 식만 봐서는 무슨 의미인가 싶은데요, 그래프를 봐볼게요.

$y=f(x)$의 그래프

근본적으로는 위에서 본 삼각형으로 구성한 함수를 미분가능하도록 매끄럽게 만든 겁니다.

(구간별로 코사인함수를 배치하되, 이외의 구간에서는 전부 $0$이도록)

 

각각의 곡선은 코사인함수인데, 끝점에서는 기울기가 전부 $0$이므로 미분가능하고, 

$n$번째 코사인곡선이 이루는 넓이를 $S_n$이라고 하면

$$\begin{align} S_n &= \int_{2n\pi}^{\frac{2\pi + n2^{n+1}\pi}{2^n}} (1-\cos(2^n(x-2n\pi)))dx \\ &= \frac{2\pi}{2^n} \end{align}$$

이 성립하므로, 

$$\int_0^{\infty}f(x)dx = \sum_{n=0}^{\infty} S_n = 4\pi$$

가 됩니다. 따라서 이상적분은 수렴하고 극한값이 존재하지 않음은 눈으로 볼 수 있듯 당연합니다.

 

따라서 미분가능성을 추가해도 거짓이 됩니다.

만약 $f(x)\geq 0$인 미분가능한 함수가 아닌 $f(x) > 0$인 미분가능한 함수를 반례로 잡는다면

위에서와 마찬가지로 $e^{-x}$를 더해주면 반례가 되고요.

 

그렇다면 두 번 미분가능한 경우는 참일까요?

세 번 미분가능한 경우는?

...

 

이는 너무 지루한 작업이고, 이 글에서 전부 나열할 수도 없습니다.

그래서 무한번 미분가능한 함수라는 조건을 걸어보겠습니다.

 

 

 

가장 강력한 조건 - 무한번 미분가능하고 $f(x) \geq 0$인 경우

지금까지 다룬 모든 조건 중 가장 강력한 조건을 걸고 살펴봅시다.

과연 $f(x)$가 무한번 미분가능하다면 어떻게 될까요?

 

이번에도 결론 먼저 말하면 무한번 미분가능하다는 조건을 걸더라도 거짓이 됩니다.

 

반례를 잡기 전에 다음과 같은 함수를 살펴봅시다. 

$$b(x) = \begin{cases} e^{-\frac{1}{x(1-x)}} & (0<x<1) \\ 0 & (\text{Otherwise}) \end{cases}$$

(이를 bump function이라고 합니다.)

 

그래프를 살펴보면 다음과 같습니다.

$y=b(x)$의 그래프

이 곡선은 다음과 같은 특징을 가집니다.

 

i) $0$부터 $1$까지의 적분값 $\int_0^1 b(x)dx$가 유한하다.

ii) $x=0, 1$에서 무한번 미분가능하다.

 

i)는 당연합니다. 구간에서 유계인 연속함수니까요.

ii)는 참인데, 이번 포스팅에서 다루기에는 길이가 너무 길어서 생략하겠습니다.

만약 다음에 이에 대해 다룰 기회가 되면 이 포스팅에 내용을 추가하도록 하겠습니다.

(이번 포스팅에서는 받아들입니다.)

 

지금까지 포스팅을 읽으셨다면, 제가 무슨짓을 할 지 어느정도 예상이 되실겁니다.

함수 $f(x)$를

$$f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} b(2^n (x-n))$$

이라고 하면

 

i) 무한번 미분가능하다.

ii) $0$에서부터 $\infty$까지의 이상적분이 수렴한다.

iii) $x\to\infty$로의 극한이 존재하지 않는다.

 

를 전부 만족합니다. 이 경우의 $f(x)$의 그래프를 확인해보면 다음과 같습니다.

$y=f(x)$의 그래프

위에 $\cos x$를 이어붙인것과 비슷하게 이어붙여지는 함수만 달라졌다고 생각하면 됩니다.

 

그리고 이 함수의 이상적분값은

$$\int_0^1 b(x)dx = I$$

라고 하면, $I$에 대한 무한등비급수가 되므로 수렴합니다.

 

$x\to\infty$로의 극한을 취해봤을 때 극한값이 수렴하지 않음은 눈으로 확인할 수 있구요.

이번에도 마찬가지로 $f(x) > 0$인 경우는 $e^{-x}$를 더해주면 되겠습니다.

 

 

 

여기까지 이상적분이 수렴하면 피적분함수의 극한도 $0$으로 수렴하는지에 대해 다뤄봤습니다.

급수의 경우 무조건 $0$으로 수렴하므로, 적분의 경우에도 $0$으로 수렴할 것 같다는 추측을 해볼 수 있으나

직관적으로 드는 생각과는 다르게 그렇지 않음을 알 수 있었습니다.

(무한번 미분가능같은 강한 조건을 걸더라도요.)

 

그럼 이번 포스팅은 여기서 마치겠습니다.

오류, 오타 또는 궁금하신 점이 있으시다면 댓글로 남겨주세요~