[수학] 지수함수가 다항함수가 아님을 증명하는 두 가지 방법

[수학] 지수함수가 다항함수가 아님을 증명하는 두 가지 방법

안녕하세요 수학올인입니다.

이번 포스팅에서는 제목과 같이 지수함수가 다항함수가 아님을 증명하는 두 가지 방법에 대해 알아보겠습니다.

 

다항함수는 다항함수고 지수함수는 지수함수인데, 이걸 증명할 거리가 되나 하는 생각도 드실겁니다.

그러나 막상 $e^x$가 다항함수가 아님을 어떻게 보일까? 하면 조금 막막하기도 하고

간단한 방법이 바로 떠오르지는 않습니다.

 

가장 잘 알려져 있는 방법은 $n$차 다항함수라고 가정하고 극한

$$\lim_{x\to\infty} \frac{e^x}{x^{n+1}} =\infty$$

을 이용하여 모순을 보이는 방법이 있는데요.

 

이걸 증명하기 위해서는 또다시 로피탈의 정리나 따로 부등식을 잡아서 위의 극한값을 정당화해야 합니다.

그래서 이번 포스팅에서는 훨씬 간단한 증명 방법 두 가지를 알아보려 합니다.

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방법1 : $n+1$번 미분하여 모순임을 보이기

함수 

$$f(x)=e^x$$

가 지수함수가 아닌 $n$차 다항함수라고 합시다. 그러면

$$f(x) = e^x = a_0 x^n + a_1 x^{n-1} + \cdots + a_n$$

이 성립합니다. 그런데 양변을 $n+1$번 미분하면

$$e^x = 0$$

임을 얻는데, $e^x > 0$이므로, 이는 모순입니다. 

 

 

 

방법2 : 차수 비교를 이용하기

이번에는 위의 방법보다 훨씬 간단한 방법인데, 다항함수의 차수를 이용하는 방법입니다.

마찬가지로 함수 

$$f(x)=e^x$$

가 지수함수가 아닌 $n$차 다항함수라고 합시다. 그러면

$$f(x)^2 = (e^x)^2$$

인데, 지수법칙으로부터

$$(e^x)^2 = e^{2x}$$

이므로

$$(e^x)^2 = e^{2x}$$

이 되어 모순임을 얻습니다. 왜냐하면 좌변과 우변의 차수가 다르기 때문입니다.

 

물론 상수함수인 경우도 있지 않냐? 라고 반문할 수 있지만

상수함수가 아님은 그냥 아무런 함숫값 두 개를 비교해보면 바로 나오기 때문입니다.

 

 

 

어떤가요? 가장 처음에 알아본 $x^{n+1}$로 나눠 극한값을 구하는 방법보다

훨씬 간단하고, 복잡하지 않은 테크닉으로 증명을 할 수 있습니다.

 

물론 다른 방법도 있을 수 있으나 개인적으로 신선했던 두 가지 증명방법이라 글로 남기게 되었습니다.

그럼 이상으로 포스팅을 마치겠습니다.

오류, 오타 또는 궁금하신 점이 있으시면 댓글로 남겨주세요~