[편입] 2012 한양대 에리카 편입수학 기출문제 정답 및 해설 (풀이)

[편입] 2012 한양대 에리카 편입수학 기출문제 정답 및 해설 (풀이)

안녕하세요 수학올인입니다.

 

이번 포스팅에선 2012 한양대 에리카 편입수학 기출문제의 정답과 풀이를 다뤄보겠습니다.

풀이는 전부 제 풀이이며, 따라서 오타나 오류가 있을 수 있습니다.

 

한양대 에리카는 현재는 편입수학을 통한 편입학 전형을 운영하고 있지 않지만

기출문제는 남아있으므로 문제 풀이를 원하신다면 시험지를 다운로드받아 풀어보실 수 있습니다.

 

원본 시험지는 제가 공유하지 않으며, 한양대 에리카 입학처에서 확인하실 수 있습니다.

(한양대 에리카 입학처 - 기출문제 - 편입학)

 

 

 

2012 한양대 에리카 편입수학 기출문제 빠른 정답

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빠른 정답은 위 사진을 참고해 주시고, 아래는 문항별 풀이입니다.

 

 

 

2012 한양대 에리카 편입수학 기출문제 2번 풀이

주어진 점은 $t=\frac{\pi}{6}$일 때이므로, 매개변수로 정의된 함수의 미분법으로부터
$$\begin{align}
    \frac{dy}{dx} &= \frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}} \\ 
    &= \frac{-2\sin t}{2\cos 2t} \bigg|_{t=\frac{\pi}{6}} \\ 
    &= -1
\end{align}$$
이다.

 

 

 

2012 한양대 에리카 편입수학 기출문제 3번 풀이

수렴반지름의 정의로부터 수렴반지름은 $3$이다. 이제 끝값의 수렴여부를 판정해볼텐데
$x=-2, 4$인 경우 모두 $n\to\infty$일 때 $a_n \to 0$이 아니므로 급수가 수렴하지 않는다.

따라서 주어진 급수가 수렴하도록 하는 정수 $x$는
$$x=-1, 0, 1, 2, 3$$
이고 이들의 합은 $5$이다.

 

 

 

2012 한양대 에리카 편입수학 기출문제 4번 풀이

번호 순서대로 극한값은 각각 
$$2, 0, -\frac{1}{2}, \sqrt{e}$$
이므로 가장 큰 것은 1번이다. ($e<3$이므로 $\sqrt{e} < \sqrt{3} < 2$)

 

 

 

2012 한양대 에리카 편입수학 기출문제 5번 풀이

주어진 함수를 미분하면
$$f'(x)=2x\sec^2(x^2)$$
이므로
$$f'\left(\frac{\sqrt{\pi}}{2}\right) = \sqrt{2\pi}$$
이다.

 

 

 

2012 한양대 에리카 편입수학 기출문제 6번 풀이

가. $x=\infty$일 때 $p$판정법으로부터 적분이 발산하므로 주어진 적분도 발산한다.

나. $p$판정법으로부터 발산한다.

다. $x=\frac{\pi}{2}$근방에서
$$\cos x \approx \frac{\pi}{2}-x$$
가 성립하므로
$$\sec x = \frac{1}{\cos x} = \frac{1}{\frac{\pi}{2} - x}$$
가 성립한다. 따라서 주어진 적분의 수렴 여부는
$$\int_0^{\frac{\pi}{2}}\frac{1}{\frac{\pi}{2}-x}dx$$
의 수렴 여부와 동일하고, $x=\frac{\pi}{2}$에서 $p$판정법으로부터 발산하므로
원래의 적분도 발산한다.

라. $p$판정법으로부터 수렴한다.

 

 

 

2012 한양대 에리카 편입수학 기출문제 7번 풀이

$\sin x$의 급수전개를 이용하면 $f(x)$의 급수전개는
$$\begin{align}
    f(x) &= \int x\left(x - \frac{x^3}{6} + \cdots\right)dx \\ 
    &= \int \left(x^2 - \frac{x^4}{6} + \cdots\right)dx \\ 
    &= \frac{1}{3}x^3 - \frac{1}{30}x^5 + \cdots
\end{align}$$
에서 $a_1 = 0, a_2 = 0, a_3 = \frac{1}{3}$이므로 구하는 합은 $\frac{1}{3}$이다.

 

 

 

2012 한양대 에리카 편입수학 기출문제 8번 풀이

주어진 두 평면은 평행하므로 두 평면 사이의 거리 $d$는 두 번째 평면 위의 점인
점 $(0,-1,0)$과 첫 번째 평면 사이의 거리와 같다. 

따라서 구하는 거리 $d$는
$$d = \frac{2}{\sqrt{14}} = \frac{\sqrt{14}}{7}$$
이다.

 

 

 

2012 한양대 에리카 편입수학 기출문제 9번 풀이

구하는 길이 $L$은
$$\begin{align}
    L &= \int_0^1 \sqrt{2^2 + (2t)^2 + (t^2)^2}dt \\ 
    &= \int_0^1 \sqrt{t^4 + 4t^2 + 4}dt \\ 
    &= \int_0^1 (t^2 + 2)dt \\ 
    &= \frac{7}{3}
\end{align}$$
이다.

 

 

 

2012 한양대 에리카 편입수학 기출문제 10번 풀이

$f(x,y,z)=x^2 - \frac{y^2}{2} - z = 0$이라 하면 주어진 점에서 경도벡터는
$$\nabla f = (-1 ,0, -1)$$
이다. 이를 벡터 $v_1$이라 하자. 

또, 주어진 직선의 방향벡터를 $v_2$라 하면 $v_2 = (1,1,1)$이다.

그러면 구하는 교각 $\theta$는 두 벡터 $v_1, v_2$의 사잇각과 같다.
한편 두 벡터의 내적으로부터
$$v_1 \circ v_2 = -2 = \sqrt{6}\cos\theta$$
에서 식을 정리하면 
$$\theta = \cos^{-1}\left(-\sqrt{\frac{2}{3}}\right)$$
이다.

 

 

 

2012 한양대 에리카 편입수학 기출문제 11번 풀이

주어진 점에서의 경도벡터는
$$\begin{align}
    \nabla f &= \left(\frac{\sqrt{yz}}{2\sqrt{x}}, \frac{\sqrt{xz}}{2\sqrt{y}}, \frac{\sqrt{xy}}{2\sqrt{z}}\right)\bigg|_{(3,2,6)} \\ 
    &= \left(1, \frac{3}{2}, \frac{1}{2}\right)
\end{align}$$
이다.

이제 주어진 벡터를 정규화한 벡터를 $v$라 하면 
$$v = \left(\frac{1}{3}, \frac{2}{3}, -\frac{2}{3}\right)$$
이므로 구하는 방향도함수는 
$$\nabla f \circ v = 1$$
이다.

 

 

 

2012 한양대 에리카 편입수학 기출문제 12번 풀이

적분순서를 변경하면 주어진 이중적분은
$$\begin{align}
    \text{(Integral)} &= \int_0^{\frac{\pi}{2}} \int_0^{\sin y} e^{\cos y}dxdy \\ 
    &= \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin ye^{\cos y}dy \\ 
    &= e-1
\end{align}$$
이다.

 

 

 

2012 한양대 에리카 편입수학 기출문제 13번 풀이

극좌표계를 이용하면 주어진 이중적분은
$$\begin{align}
    \text{(Integral)} &= \int_0^{\frac{\pi}{2}} \int_1^2 r(4r^2\cos^2 \theta + 5r^3 \sin^2\theta)drd\theta \\ 
    &= \int_0^{\frac{\pi}{2}} (15\cos^2\theta + 31\sin^3\theta)d\theta \\ 
    &= \frac{15}{4}\pi + \frac{62}{3}
\end{align}$$
이다.

 

 

 

2012 한양대 에리카 편입수학 기출문제 14번 풀이

[풀이 1]
적분 영역은 
$$z\leq 4\quad \Longrightarrow\quad x^2 + y^2 \leq 4$$
이다. 이를 $D$라 하자.

그러면 곡면적을 구하는 공식으로부터 구하는 곡면적 $S$는
$$\begin{align}
    S &= \iint_D \sqrt{1+4x^2 + 4y^2}dA \\ 
    &= \int_0^{2\pi} \int_0^2 r\sqrt{1+4r^2}drd\theta \\ 
    &= \frac{\pi}{6}(17\sqrt{17} - 1)
\end{align}$$
이다.



[풀이 2]
곡면적을 구하는 영역이 
$$z\leq 4\quad \Longrightarrow\quad x^2 + y^2 \leq 4$$
인데, 주어진 곡면은 $xz$평면 위의 곡선 $z=x^2$을 $z$축을 중심으로 회전시켜
얻은 곡면이므로, 구하는 곡면의 넓이는 곡선
$$z = x^2 \quad (0\leq x\leq 2)$$
를 $z$축을 중심으로 회전시켜 얻은 회전곡면의 넓이와 같다.

따라서 구하는 곡면의 넓이 $S$는
$$\begin{align}
    S &= 2\pi \int_0^2 x\sqrt{1+4x^2}dx \\ 
    &= \frac{\pi}{6}(17\sqrt{17} - 1)
\end{align}$$
이다.

 

 

 

2012 한양대 에리카 편입수학 기출문제 15번 풀이

주어진 미분방정식은
$$e^{-x}(\cos\omega x+\omega \sin\omega x)dx + dy = 0$$
으로 변수분리가 가능하다. 한편
$$(-e^{-x}\cos\omega x)' = e^{-x}(\cos\omega x+\omega \sin\omega x)$$
가 성립하므로 양변을 적분하면
$$-e^{-x}\cos\omega x + y = C$$
이고 $y(0)=2$이므로 $C=1$이다. 따라서 이항하여 정리하면
$$y = 1 + e^{-x}\cos\omega x$$
가 주어진 미분방정식의 해이다.

 

 

 

2012 한양대 에리카 편입수학 기출문제 16번 풀이

주어진 미분방정식의 양변을 세 번 미분하면 다음과 같은 세 식을 얻는다.
$$\begin{align}
    & y^{(3)} + y+xy' = 0 \\ 
    & y^{(4)} + 2y' + xy'' = 0 \\ 
    & y^{(5)} + 3y'' + xy^{(3)} = 0
\end{align}$$
한편 $x=0$을 대입하면
$$y''(0) =0,\quad y^{(5)}(0) = 0$$
이고 
$$a_2 = \frac{y''(0)}{2!},\quad a_5 = \frac{y^{(5)}(0)}{5!}$$
이 성립하므로 $a_2 = a_5 = 0$이다. 따라서 구하는 값은 $0$이다.

 

 

 

2012 한양대 에리카 편입수학 기출문제 17번 풀이

주어진 미분방정식의 양변을 $x$로 나누면
$$y'+\frac{3}{x}y = -\frac{5}{x}$$
라는 미분방정식을 얻고 이는 일계 선형 미분방정식이다.

따라서 주어진 미분방정식의 해는 
$$\begin{align}
    y &= e^{-3\ln x}\left(-5 \int x^2dx + C \right) \\ 
    &= \frac{1}{x^3}\left(-\frac{5}{3}x^3 + C\right) \\ 
    &= -\frac{5}{3} + \frac{C}{x^3}
\end{align}$$
이다.

 

 

 

2012 한양대 에리카 편입수학 기출문제 18번 풀이

함수 $y$의 라플라스 변환을 $Y$라고 하고 주어진 미분방정식의 양변을 라플라스 변환하면
$$\begin{align}
    Y &= \frac{\sqrt{2}s - 2\sqrt{2}}{(s-1)^2 + 1} \\ 
    &= \frac{\sqrt{2}(s-1) - \sqrt{2}}{(s-1)^2 + 1}
\end{align}$$
에서 역변환하면
$$y(x) = \sqrt{2}e^x(\sin x+\cos x)$$
이다.

 

 

 

2012 한양대 에리카 편입수학 기출문제 19번 풀이

함수 $y(t) = t\sin at$의 라플라스 변환을 $F(s)$라 하면
$$F(s) = \frac{2as}{(s^2 + a^2)^2}$$
이 성립한다. 문제의 경우는 $a=3$인 경우이므로 대입하면 정답은 4번이다.

 

 

 

2012 한양대 에리카 편입수학 기출문제 20번 풀이

역연산자와 소멸연산자를 이용하면 구하는 특수해 $y_p$는
$$\begin{align}
    y_p &= \frac{1}{D^2 - 4D + 4}\left\{e^{2x} + \sin x\right\} \\ 
    &= \frac{1}{2}x^2e^{2x} + \frac{1}{D^2 - 4D + 4}\left\{\sin x\right\} \\ 
    &= \frac{1}{2}x^2e^{2x} + \frac{1}{3 - 4D}\left\{\sin x\right\} \\ 
    &= \frac{1}{2}x^2e^{2x} + \frac{3+4D}{9-16D^2}\left\{\sin x\right\} \\ 
    &= \frac{1}{2}x^2e^{2x} + \frac{3+4D}{15}\left\{\sin x\right\} \\ 
    &= \frac{1}{2}x^2e^{2x} + \frac{1}{15}(3\sin x+4\cos x)
\end{align}$$
이므로 정답은 4번이다.

 

 

 

2012 한양대 에리카 편입수학 기출문제 21번 풀이

가. 외적은 분배법칙이 성립하므로 참이다.

나. $a\circ(b\times c) = c\circ (a\times b) = (a\times b)\circ c$이므로 참이다.

다. 외적의 성질로부터 참이다.

라. $|a\times b| = |a||b|\sin\theta$이므로 좌변은
$$|a|^2 |b|^2 \sin^2\theta$$
이다. 또, $a\circ b = |a||b|\cos\theta$이므로 우변은
$$|a|^2 |b|^2 (1-\cos^2\theta) = |a|^2|b|^2\sin\theta$$
이다. 따라서 좌변과 우변이 같으므로 참이다.

 

 

 

2012 한양대 에리카 편입수학 기출문제 22번 풀이

$(A-A^T)^T = A^T - A$이므로 정답은 1번이다.

 

 

 

2012 한양대 에리카 편입수학 기출문제 23번 풀이

$\text{tr}(AA^T)$의 값을 구하기 위해서는 행렬 $AA^T$의 대각성분의 원소만 구하면 된다.
이때 행렬 $AA^T$의 1행 1열의 원소는 $A$의 1행과 $A^T$의 1열의 내적이고
2행 2열의 원소는 $A$의 2행과 $A^T$의 2열의 내적이다. (나머지 성분도 마찬가지)

그런데 $A^T$의 $n$열은 $A$의 $n$행과 같으므로 행렬 $AA^T$의 $n$행 $n$열의 원소는
행렬 $A$의 $n$행을 구성하는 행벡터의 크기의 제곱이다. 
(같은 벡터끼리 내적하므로 크기의 제곱이 된다.)

따라서 구하는 값은 $3+2+5+6=16$이다.

 

 

 

2012 한양대 에리카 편입수학 기출문제 24번 풀이

주어진 연립방정식을 첨가행렬의 형태로 쓴 뒤 행사다리꼴로 만들면
$$\begin{align}
    & \begin{pmatrix}
1 & -2 & -1 & 1 & -13 \\
2 & -4 & 3 & -3 & 4 \\
5 & -10 & 7 & -7 & k 
\end{pmatrix} \\ 
&\sim \begin{pmatrix}
1 & -2 & -1 & 1 & -13 \\
0 & 0 & 1 & -1 & 6 \\
0 & 0 & 12 & -12 & k+65 
\end{pmatrix}
\end{align}$$
에서 주어진 연립방정식의 해가 존재하려면
$$\text{rank}\begin{pmatrix}
1 & -2 & -1 & 1  \\
0 & 0 & 1 & -1  \\
0 & 0 & 12 & -12  
\end{pmatrix} = \text{rank}\begin{pmatrix}
1 & -2 & -1 & 1 & -13 \\
0 & 0 & 1 & -1 & 6 \\
0 & 0 & 12 & -12 & k+65 
\end{pmatrix}$$
이어야 한다. 즉, $6\times 12 = k+65$에서 $k=7$이다.

 

 

 

2012 한양대 에리카 편입수학 기출문제 25번 풀이

네 벡터를 직접 곱해보면 전부 고유치 $6$에 대응하는 고유벡터가 된다.

 

 

 

2012 한양대 에리카 편입수학 기출문제 26번 풀이

$\det A = 30$이므로 $\det(\text{adj}(A)) = (\det A)^3  = 30^3$이다.

 

 

 

마치며

이상으로 2012 한양대 에리카 편입수학 기출문제 정답 및 해설을 마치겠습니다.

오류, 오타 또는 궁금하신 점이 있으시면 댓글로 남겨주세요~