2024학년도 9월 모의고사 수학 13번 풀이 (240913 풀이)

안녕하세요 수학올인입니다.

이번 포스팅에서는 2024학년도 9월 모의고사 수학 13번 문제를 다뤄보겠습니다.

주어진 함수 $f(x)$는 실수 전체의 집합에서 미분가능하므로, 미분하면

$$f'(x) = \begin{cases} -x^2 -2ax - b & (x<0) \\ x^2 + 2ax - b & (x\geq 0) \end{cases}$$

이다. 그런데 문제의 조건에서 $f'(-1)=0$이므로 $2a-b=1$이고 다시 쓰면 $b=2a-1$이다.

따라서 $3a-1$의 최대와 최소를 구하면 되고, $f'(x)$를 다시 쓰면

$$f'(x) = \begin{cases} -x^2 -2ax - 2a + 1 & (x<0) \\ x^2 + 2ax - 2a + 1 & (x\geq 0) \end{cases}$$

이다.

이차함수 $g(x) = -x^2 - 2ax - 2a + 1$은 위로 볼록한 함수이므로, $-1<x<0$에서 항상 음이 아니려면

$g(0)\geq 0$이면 되고 여기서 $2a \leq 1$임을 얻는다.

또, 이차함수 $h(x)=x^2 + 2ax - 2a + 1 = (x+a)^2 - a^2 - 2a + 1$은 아래로 볼록한 이차함수이다.

이제 축의 위치에 따라 경우를 나누자.

i) $a\leq 0$인 경우 :

$x>0$에서 $h(x) \geq 0$이려면 $-a^2 - 2a + 1\geq 0$이면 된다.

ii) $a>0$인 경우 :

$x>0$에서 $h(x) \geq 0$이려면 $h(0) \geq 0$이면 되고 이는 곧 $2a \leq 1$와 같다.

이상에서 얻은 정보를 종합해보면

$$-1-\sqrt{2}\leq a \leq 0,\quad 0<a\leq \frac{1}{2}$$

이고 둘을 합치면

$$-1-\sqrt{2}\leq a \leq \frac{1}{2}$$

이다. 따라서 $3a-1$의 최대 $M$과 최소 $m$은

$$M = \frac{1}{2},\quad m=-3\sqrt{2}-4$$

이고 $M-m = \frac{9}{2} + 3\sqrt{2}$이다.

난이도는 그렇게 어려운 편은 아니지만 괜찮은 문제라고 생각합니다.