2024학년도 9월 모의고사 수학 미적분 28번 풀이 (240928 풀이)

2024학년도 9월 모의고사 수학 미적분 28번 풀이 (240928 풀이)

 

 

안녕하세요 수학올인입니다.

 

이번 포스팅에서는 2024학년도 9월 모의고사 수학 미적분 28번을 다뤄보겠습니다.

 

 

 

문제

2024학년도 9월 모의고사 수학 미적분 28번

 

 

 

풀이

함수 $f(x)$의 그래프를 그리면 다음과 같다.

f(x)의 그래프

이때, $x<0$에서 한 주기의 적분값은 $1$이고, $x>0$에서의 주기의 절반의 적분값은 $\frac{2}{a}$이다.

이를 구하는 이유는 적분을 했을 때 도함수의 부호 있는 넓이를 원함수의 함숫값의 차로 해석할 수 있기 때문이다.

(미적분학의 기본정리)

 

새로운 함수 

$$h(x)= \int_{-a\pi}^x f(t)dt$$

의 그래프를 그리면 아래와 같다.

h(x)의 그래프

이때 $g(x)=|h(x)|$이므로 $g(-a\pi)=h(-a\pi)=0$임을 안다.

 

그런데 함수 $g(x)$는 미분가능하므로, 

$$h'(-a\pi)=0\quad \Longrightarrow\quad a=\frac{n}{4}$$

임을 얻는다. (단, $n$은 자연수)

 

한편 이 함수의 $y$축은 반드시 $x<0$ 부분의 삼중근이 있는 지점에 놓이게 되므로 (미분가능하니까)

$x>0$에서의 함숫값이 그보다 덜 내려오면 함수 $g(x)$는 미분가능하게 된다.

 

따라서 $x<0$에서의 함숫값의 변화는

$$h(0) - h(-a\pi) = n$$

이고 $x>0$에서의 함숫값의 변화는

$$\frac{2}{a}$$

이므로 부등식

$$n > \frac{2}{a}$$

를 풀면 된다. 한편 위에서 $a=\frac{n}{4}$임을 알고 있으므로 대입한 뒤 정리하면

$$n^2 > 8 \quad \Longrightarrow\quad n > 2\sqrt{2}$$

이므로 

$$a=\frac{n}{4}\geq \frac{3}{4}$$

이다.

 

 

 

주어진 조건을 따라가면 특수한 상황을 먼저 찍어보거나 그럴 필요 없이 정직하게 풀리는 문제 같습니다.

블로그에서 다룬 2024학년도 9월 모의고사 문제
(클릭시 이동)

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