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2024학년도 9월 모의고사 수학 14번 풀이 (240914 풀이)

수학올인 2023. 9. 19. 17:46
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2024학년도 9월 모의고사 수학 14번 풀이 (240914 풀이)

안녕하세요 수학올인입니다.

 

이번 포스팅에서는 2024학년도 9월 모의고사 수학 14번을 다뤄보겠습니다.

 

 

 

문제

2024학년도 9월 모의고사 수학 14번

 

 

 

풀이

경계가 되는 $k$의 값이 $3\leq k < 4$이므로, $f(3), f(4)$의 값을 먼저 조사해 보면 $f(3)=7, f(4)=5$이다.

 

주어진 범위에서 항상 $k=3$을 포함하므로, 주어진 집합에 $7$은 항상 속한다.

 

한편 $k$의 값에 따라 ($x> -8$에서만 생각해 보면) $6$이 함숫값으로 존재할 수도, 그렇지 않을 수도 있는데,

문제의 조건에서 모든 실수 $k$의 값의 범위가 $3\leq k < 4$라는 말은 $x\leq -8$에서 $f(x)=6$을 만족시키는

어떤 실수 $x$가 반드시 존재한다는 말과 같다.

 

이를 통해 $b$의 값을 결정할 수 있다.

 

i) $b<5$인 경우 : 

이 경우는 $x\to -\infty $인 상황을 생각하면 $x\leq -8$에서 $f(x)=5, 6$인 $x$가 존재한다.

한편 $7$도 주어진 집합에 항상 포함되므로 집합의 원소 중 정수의 개수가 2 임에 모순이다.

 

ii) $b>5$인 경우 :

이 경우는 $x\leq -8$에서 $f(x)=6$을 만족시키는 어떤 실수 $x$가 존재하지 않는다.

 

따라서 $b=5$이다.

 

이제 $a$를 결정할 수 있는데, $x\leq -8$에서 함수 $f(x)$는 증가하기 때문에, $f(-8)$의 범위가

$$6 \leq f(-8) < 7 \quad \Longleftrightarrow \quad 1\leq 2^{a-8} < 2$$

이어야 하고 이는 $a=8$임을 의미한다. 따라서 $a+b=13$이다.

 

주변의 오답케이스 중 $f(-8)$의 범위를 나눌 때 7에 등호를 포함시키거나 8보다 작다라고 푸는 경우가 있었다.

(이렇게 풀면 $a$의 값이 하나로 결정되지 않는다.)

 

이렇게 풀면 조건을 만족시키지 않는데, 만약 $7 \leq f(-8) < 8$인 경우를 생각해 보면

"모든 실수" $k$의 값의 범위가 문제처럼 나오지 않는다.

(극단적으로 $k=0$인 경우에도 주어진 집합의 원소 중 정수의 개수가 2가 된다.)

 

 

 

이 문제의 경우 조건을 꼼꼼하게 읽냐 그렇지 않느냐에 따라 난이도가 조금 갈릴 수 있을 듯합니다.

특히 $a$를 결정하는 부분에서 마지막 부분처럼 풀이를 했다면 물론 답은 $13$을 선택했겠지만

조금 찜찜하게 넘겼겠죠.

블로그에서 다룬 2024학년도 9월 모의고사 문제
(클릭시 이동)

- 2024학년도 9월 모의고사 수학 13번
- 2024학년도 9월 모의고사 수학 14번 (현재)
- 2024학년도 9월 모의고사 수학 15번
- 2024학년도 9월 모의고사 수학 22번

- 2024학년도 9월 모의고사 수학(미적분) 28번
- 2024학년도 9월 모의고사 수학(미적분) 30번

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