2024학년도 9월 모의고사 수학 22번 풀이 (240922 풀이)

2024학년도 9월 모의고사 수학 22번 풀이 (240922 풀이)

안녕하세요 수학올인입니다.

 

이번 포스팅에서는 저번 포스팅인 2024학년도 9월 모의고사 수학 15번에 이어서 22번을 풀어보겠습니다.

 

 

 

문제

2024학년도 9월 모의고사 수학 22번

 

 

 

 

풀이

조건 (가)에 $x=1$을 대입하면 $f(1)=3$을 얻는다. 이제 (가)의 양변을 미분하면

$$f(x)=f(x)+xf'(x)-4x\quad\Longrightarrow\quad f'(x)=4x$$

이므로, $f(x)=4x-1$을 얻는다.

 

한편 $F'(x)=f(x)$, $G'(x)=g(x)$이므로 조건 (나)를 다시 쓰면

$$(F(x)G(x))' = 8x^3 + 3x^2 + 1$$

이다. 이 식의 양변을 적분하면

$$F(x)G(x)=2x^4 + x^3 + x + k$$

를 얻는다. (단, $k$는 상수)

 

바로 위에서 구한 $f(x)$를 적분하면

$$F(x)=2x^2 - x + c$$

이므로, 함수 $G(x)$는 이차함수이다.

 

이제 양변의 계수를 비교하자. 

 

우변의 $2x^4$는 두 함수 $F(x), G(x)$의 이차항의 곱으로 표현되므로 $G(x)$의 이차항의 계수는 1이다.

 

우변의 $x^3$은 $F(x)$의 이차항과 $G(x)$의 일차항의 곱 + $F(x)$의 일차항과  $G(x)$의 이차항의 곱으로

표현되므로 $G(x)$의 일차항의 계수는 $1$이다.

(바로 위에서 구한 $G(x)$의 이차항의 계수가 $1$임을 이용한 것이다.)

 

그럼 

$$G(x)=x^2 + x + t$$

(단, $t$는 상수)로 쓸 수 있는데, 구하는 값을 확인하면

$$\int_1^3 g(x)dx = G(3) - G(1)$$

이므로 $t$의 값은 중요하지 않다. (어차피 빼면서 소거되기 때문이다.)

 

$G(3)=12 + t, G(1) = 2 + t$이므로 구하는 값은 $10$이다.

 

 

 

15번과 마찬가지로 평소 22번에 비해 아주 쉽게 출제가 된 것 같습니다.

번호를 보고 쫄지만 않았다면 충분히 풀었을 문제라고 생각합니다.

블로그에서 다룬 2024학년도 9월 모의고사 문제
(클릭시 이동)

- 2024학년도 9월 모의고사 수학 13번
- 2024학년도 9월 모의고사 수학 14번
- 2024학년도 9월 모의고사 수학 15번
- 2024학년도 9월 모의고사 수학 22번 (현재)
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