2024학년도 9월 모의고사 수학 15번 풀이 (240915 풀이)

2024학년도 9월 모의고사 수학 15번 풀이 (240915 풀이)

안녕하세요 수학올인입니다.

 

이번 포스팅에서는 글을 쓰고 있는 날 기준으로 하루 전에 시행한 2024학년도 9월 모의고사의

수학 15번 문항을 풀어보도록 하겠습니다.

 

 

 

문제

2024학년도 9월 모의고사 수학 15번

 

 

 

풀이

$\lim_{x\to 3}g(x) \neq g(3)$이므로 함수 $g(x)$는 $x=3$에서 불연속이다.

 

한편 방정식 $f(x)=0$을 만족시키는 $x$들은 절대 구간의 형태로 분포할 수 없고 이 말은 곧 $f(3)=0$이라는 말과 같다.

(왜냐하면 $f(3)\neq 0$이면 $x=3$ 근방에서 항상 $f(x) \neq 0$이므로 $g(x)$가 $x=3$에서 연속이 되기 때문이다.)

 

한편 

$$\lim_{x\to 3} g(x) = \frac{f(6)(f(3)+1)}{f(3)}$$

이 수렴하려면 분자가 $0$이어야 한다. 그런데 $f(3)=0$이므로 $f(6)=0$이다.

 

그럼 인수정리로부터

$$f(x)=(x-3)(x-6)(x-a)$$

이고 이를 조건에 대입하면

$$\begin{align} \lim_{x\to 3}g(x) &= \frac{x(x-3)(x-a+6)(1+f(x))}{(x-3)(x-6)(x-a)} \\ &= -\frac{6-a}{3-a} \\ &= 2\end{align}$$

에서 $a=4$이다. 따라서

$$f(x)=(x-3)(x-4)(x-6)$$

이고 계산을 통해 $g(5)=20$임을 얻는다.

 

 

 

평상시의 15번에 비해서 상당히 쉽게 출제가 된 것 같습니다.

물론 이는 어느 정도 예상할 수 있는 상황이긴 했지만 그걸 감안해도 너무 쉽게 출제가 됐네요.

 

핵심 문항 (15, 22, 30)을 13, 14번같은 준킬러 문항보다 훨씬 쉽게 출제를 했다고 저는 느껴지네요.

블로그에서 다룬 2024학년도 9월 모의고사 문제
(클릭시 이동)

- 2024학년도 9월 모의고사 수학 13번
- 2024학년도 9월 모의고사 수학 14번
- 2024학년도 9월 모의고사 수학 15번 (현재)
- 2024학년도 9월 모의고사 수학 22번
- 2024학년도 9월 모의고사 수학(미적분) 28번
- 2024학년도 9월 모의고사 수학(미적분) 30번