2024학년도 9월 모의고사 미적분 30번 풀이 (240930 풀이)

2024학년도 9월 모의고사 미적분 30번 풀이 (240930 풀이)

안녕하세요 수학올인입니다.

 

마찬가지로 이번 포스팅은 지난 포스팅들에 이어 2024학년도 9월 모의고사 수학 (미적분) 30번을 다뤄보겠습니다.

 

 

 

문제

2024학년도 9월 모의고사 미적분 30번

 

 

 

풀이

아래 그림처럼 원의 중심을 O라고 하고 두 선분 OP, OB가 이루는 각을 $\alpha$라 하자.

그러면 구하는 $S(\theta)$는

$$S(\theta) = 2\times \frac{1}{2}\times 5\sin\alpha (1+5\cos \alpha)$$

이다. 한편 $\theta$와 $\alpha$의 관계식을 구하면

$$\tan\theta = \frac{5\sin\alpha}{1+5\cos\alpha}$$

가 성립한다.

 

첫 번째 식의 양변을 $\theta$로 미분하면

$$S'(\theta) = (25\cos^2\alpha - 25\sin^2\alpha + 5\cos\alpha)\times \frac{d\alpha}{d\theta}$$

가 성립하고, 두 번째 식의 양변을 $\theta$로 미분하면

$$\sec^2 \theta = \frac{5\cos \alpha + 25}{(1+5\cos\alpha)^2}\times \frac{d\alpha}{d\theta}$$

가 성립한다. 

 

$\displaystyle\theta=\frac{\pi}{4}$인 상황에서 $\displaystyle \sin\alpha = \frac{4}{5}, \cos\alpha = \frac{3}{5}$가 성립하므로 이를 전부 대입하여 계산하면

$$S'\left(\frac{\pi}{4}\right) = -\frac{32}{7} \quad\Longrightarrow\quad -7S'\left(\frac{\pi}{4}\right) = 32$$

이다.

 

 

 

평소 미적분 30번에 비해 쉽게 (다만 거부감이 드는 계산이 조금 있게) 출제된 것 같습니다. 

원이 주어졌을 때 원의 중심을 이용하려는 생각을 했다면 그 이후는 평범한 연쇄법칙 문제가 됩니다.

블로그에서 다룬 2024학년도 9월 모의고사 문제
(클릭시 이동)

- 2024학년도 9월 모의고사 수학 13번
- 2024학년도 9월 모의고사 수학 14번
- 2024학년도 9월 모의고사 수학 15번
- 2024학년도 9월 모의고사 수학 22번
- 2024학년도 9월 모의고사 수학(미적분) 28번
- 2024학년도 9월 모의고사 수학(미적분) 30번 (현재)