2024학년도 9월 모의고사 수학 13번 풀이 (240913 풀이)

2024학년도 9월 모의고사 수학 13번 풀이 (240913 풀이)

 

 

안녕하세요 수학올인입니다.

 

이번 포스팅에서는 2024학년도 9월 모의고사 수학 13번 문제를 다뤄보겠습니다.

 

 

 

문제

2024학년도 9월 모의고사 수학 13번

 

 

 

풀이

주어진 함수 $f(x)$는 실수 전체의 집합에서 미분가능하므로, 미분하면

$$f'(x) = \begin{cases} -x^2 -2ax - b & (x<0) \\ x^2 + 2ax - b & (x\geq 0) \end{cases}$$

이다. 그런데 문제의 조건에서 $f'(-1)=0$이므로 $2a-b=1$이고 다시 쓰면 $b=2a-1$이다.

 

따라서 $3a-1$의 최대와 최소를 구하면 되고, $f'(x)$를 다시 쓰면

$$f'(x) = \begin{cases} -x^2 -2ax - 2a + 1 & (x<0) \\ x^2 + 2ax - 2a + 1 & (x\geq 0) \end{cases}$$

이다.

 

이차함수 $g(x) = -x^2 - 2ax - 2a + 1$은 위로 볼록한 함수이므로, $-1<x<0$에서 항상 음이 아니려면

$g(0)\geq 0$이면 되고 여기서 $2a \leq 1$임을 얻는다. 

 

또, 이차함수 $h(x)=x^2 + 2ax - 2a + 1 = (x+a)^2 - a^2 - 2a + 1$은 아래로 볼록한 이차함수이다.

이제 축의 위치에 따라 경우를 나누자.

 

i) $a\leq 0$인 경우 :

$x>0$에서 $h(x) \geq 0$이려면 $-a^2 - 2a + 1\geq 0$이면 된다.

 

ii) $a>0$인 경우 : 

$x>0$에서 $h(x) \geq 0$이려면 $h(0) \geq 0$이면 되고 이는 곧 $2a \leq 1$와 같다.

 

이상에서 얻은 정보를 종합해보면

 

$$-1-\sqrt{2}\leq a \leq 0,\quad 0<a\leq \frac{1}{2}$$

이고 둘을 합치면

$$-1-\sqrt{2}\leq a \leq \frac{1}{2}$$

이다. 따라서 $3a-1$의 최대 $M$과 최소 $m$은

$$M = \frac{1}{2},\quad m=-3\sqrt{2}-4$$

이고 $M-m = \frac{9}{2} + 3\sqrt{2}$이다.

 

 

 

난이도는 그렇게 어려운 편은 아니지만 괜찮은 문제라고 생각합니다.

블로그에서 다룬 2024학년도 9월 모의고사 문제
(클릭시 이동)

- 2024학년도 9월 모의고사 수학 13번 (현재)
- 2024학년도 9월 모의고사 수학 14번
- 2024학년도 9월 모의고사 수학 15번
- 2024학년도 9월 모의고사 수학 22번
- 2024학년도 9월 모의고사 수학(미적분) 28번
- 2024학년도 9월 모의고사 수학(미적분) 30번