2024학년도 7월 모의고사 미적분 30번 풀이 (240730 풀이)

2024학년도 7월 모의고사 미적분 30번 풀이 (240730 풀이)

 

 

안녕하세요 수학올인입니다.

 

이번 포스팅에서는 2024학년도 7월 모의고사 미적분 30번 문항을 다뤄보겠습니다.

 

 

 

문제

2024학년도 7월 모의고사 미적분 30번

 

 

 

풀이

주어진 함수 $g(x)$를 두 함수 

$$\sin (\pi |x|),\quad f(x)$$

의 합성으로 바라보면, $f(a_n)$의 값은 정수여야 한다. 

 

한편 (가) 조건을 만족시키려면 함수 $f(x)$는 순서대로 $x=a_4, a_8$에서 극대, 극소이다. 

(겉함수의 증감이 일정하기 때문이다.)

 

한편 $f(a_n)$의 값이 정수라는 조건으로부터, 함수 $f(x)$의 두 극값의 차는 $4$이다.

따라서 $a_8 - a_4 =2$이고, (나) 조건에서 $f(0) = f(a_8)$이다.

 

즉, 삼차함수의 비율관계로부터 $a_4 = 1, a_8 = 3$이므로

$$f(x) = x(x-3)^2 + f(0)$$

이고 $f(8) = 200 + f(0)$이므로 $k = 208$이다.

($f(a_n)$은 $n$이 한 개 증가할 때 마다 1씩 증가하므로.)